1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值（课件）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（湘教版新教材选择性必修第二册）

第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 教学目标 1．会求三次函数的单调区间（重点） 2．会求三次函数的极值，及闭区间上的最值（重点） 3．三次函数的图像与其导函数的图像的关系（重点、难点） 新课程标准解读 核心素养 通过图像观察三次函数的单调区间和极值． 直观想象 利用导数求三次函数的单调区间、极值及闭区间上的最值． 逻辑推理、数学运算 三次函数的导数与三次函数的极值、单调性． 逻辑推理 连续函数在闭区间上的极值与最值的联系 逻辑推理 核心素养 知 识 回 顾 Retrospective Knowledge 知 识 回 顾 若在区间(a，b)内， f ′ (x) > 0，则函数 f (x) 在此区间内单调递增，(a，b)为 f (x) 的单调递增区间；
 若在区间(a，b)内， f ′ (x) < 0，则函数 f (x) 在此区间内单调递减，(a，b)为 f (x) 的单调递减区间． 函数的导数与函数的单调性的关系： 知 识 回 顾 利用导数确定函数的单调性步骤： （1）确定函数 f (x)的定义域． （2）求出函数的导数 f′ (x) ． （3）在定义域内 解不等式 f′ (x)>0，得函数单增区间； 解不等式 f′ (x)<0，得函数单减区间． 注：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 知 识 回 顾 极值与极值点的概念： 设函数 y = f (x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于 f (x0)（即 f (x)≤ f (x0)），就说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极大值，此时x0称为 f (x)的一个极大值点． 若点x0 附近的函数值都大于或等于 f (x0)（即 f (x) ≥ f (x0)），就 说 f (x0)是函数 y = f (x)的一个极小值，此时x0称为 f (x)的一个极小值点． 知 识 回 顾 （1）求导数 f ′ (x)． （2）求f (x)的驻点，即求方程f ′ (x)=0的解． （3）对于方程f ′ (x)=0的每一个解x0，分析f ′ (x)在x0左右两侧的符号 （即讨论f (x)的单调性），确定极值点： ①若f (x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f (x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点． （4）求出各极值点的函数值，就得到函数 y = f (x)的全部极值． 求可导函数极值的一般步骤： 新 知 探 索 New Knowledge explore 新 知 探 索 我们曾经用配方法和导数法探讨过二次函数的性质，其中导数法最为简便快捷． 利用函数的导数来研究函数的性质，不但便捷，而且具有一般性．只要能算出函数的导数并求出导函数的零点，便能把该函数的单调区间和极值点一一列出，做到一目了然． 三次函数的导数是二次函数，二次函数的零点是容易求出的，所以用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极值点． 新 知 探 索 三次函数F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)的导函数F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数．借助二次函数的图像，以及导数和单调性、极值的关系，我们能否得出三次函数的单调性和极值呢？ 思考 新 知 探 索 情形1 函数F′ (x)没有零点，F′ (x)在(－∞，＋∞)上不变号，如图． （1）若a > 0，则F′ (x)恒为正， F(x)在(－∞，＋∞)上递增． 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． 可能有以下三种情形： 新 知 探 索 情形1 函数F′ (x)没有零点，F′ (x)在(－∞，＋∞)上不变号，如图． （2）若a < 0，则F′ (x)恒为负， F(x)在(－∞，＋∞)上递减． 设F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)，则F′ (x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数． 可能有以下三种情形： 新 知 探 索