专题四 拓展优化　非线性回归问题-2022高考文科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

拓展优化　非线性回归问题 通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用.其中非线性回归问题具有十分重要的现实意义，不仅培养学生数据分析、数学建模的数学素养，树立数学有用的意识，而且在现实生产生活中有着广泛的应用. 【典例】 奋斗“十四五”、奋进新征程，良好的开端是夺取全面建设社会主义现代化国家新胜利的关键.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划10年发展期间年研发资金投入额xi和年盈利额yi的数据，i＝1，2，…，10.通过对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数.令ui＝x，vi＝ln yi(i＝1，2，…，10)，经计算得如下数据： )2 (xi－ )2 (yi－ 26 215 65 2 680 5.36 )2 (ui－ ))·(yi－ (ui－ )2 (vi－ ))·(vi－ (xi－ 11 250 130 2.6 12 (1)请从相关系数的角度分析哪一个模型的拟合程度更好； (2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(精确到0.01)； (ⅱ)若2022年计划投入研发资金25亿元，请根据(1)的选择预测2022年的盈利额为多少亿元(结果精确到0.01). 参考公式：相关系数r＝， 线性回归方程， －＝，＝x中，＋＝ 参考数据：e5.06≈157.60. 解　(1)设模型①对应的相关系数为r1，模型②对应的相关系数为r2， 由题意得 r1＝≈0.87， ＝＝ r2＝≈0.92. ＝＝ 则|r1|<|r2|，因此从相关系数的角度分析，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好. (2)(ⅰ)先建立v关于x的线性回归方程， 由y＝eλx＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx， ≈0.18， ＝＝ ×26＝0.56， ＝5.36－－＝ 所以y关于x的线性回归方程为＝e0.18x＋0.56. (ⅱ)把x＝25代入＝e0.18x＋0.56， 则＝e0.18×25＋0.56＝e5.06≈157.60(亿元)， 所以预测2022年的盈利额约为157.60亿元. 点津突破　1.由图表计算相关系数加以比较，判断两函数模型拟合效果. 2.破解题目的关键：(1)会转化，把非线性回归方程转化为线性回归方程.本题中，通过取对数，把非线性回归方程转化为线性回归方程，求出线性回归系数，得出线性回归方程，最后转化为非线性回归方程.(2)准确计算，读懂题意，会预测预报变量的值. [跟踪演练] 2021年春节档电影《你好，李焕英》在大年初一上映，该片是今年票房的黑马，上映之前人们对它并不看好，预售成绩也很一般，不过上映之后很快就改变了人们对它的看法，凭借着不错的口碑，《你好，李焕英》票房实现了逆袭，仅用10天就成为春节档票房冠军.某电影院统计了该电影上映高峰后连续10场的观众人数，其中每场观众人数y(单位：百人)与场次x的统计数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2.77 2 1.92 1.36 1.12 1.09 0.74 0.68 0.62 0.55 通过散点图可以发现y与x之间具有相关性，且满足经验关系式：y＝aebx，设ω＝ln y. (1)利用表格中的前8组数据求相关系数r，并判断是否有99%的把握认为x与ω之间具有线性相关关系(当相关系数满足|r|>0.789时，则有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系)； (2)利用x与ω的相关性及表格中的前8组数据求出y与x之间的回归方程(结果保留两位小数). 附：≈1.30，e1.17≈3.22.前8组数据的相关量及公式： ≈2.45，≈6.48， )2＝42， (xi－ωi＝2.18，yi＝11.68，xi＝36， )2＝3.61， (yi－ )＝－11.83， )(yi－ (xi－)2＝1.70， (ωi－ )＝－8.35， )(ωi－ (xi－ 对于样本(vi，ui)(i＝1，2，…，n)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， －＝－n\o(v,\s\up6(－))2)，＝＝ 相关系数r＝. 解　(1)∵r＝≈－0.99. ＝ ∴|r|≈0.99>0.789， ∴有99%的把握认为x与ω之间具有线性相关关系. (2)由y＝aebx，两边取对数得ln y＝ln a＋bx， 设u＝ln a，又ω＝ln y，则ω＝u＋bx， ≈－0.20， ＝＝ ≈1.17. －＝ ∴＝e－0.20x＋1.17＝3.22e－0.20x. ＝