第二章 解三角形 章末检测-2021-2022学年高一下学期数学北师大版必修5
第二章 章末检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，已知b＝3，c＝3
，A＝30°，则C等于( )
A．30° B．60°或120°
C．60° D．120°
2．已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝5，cos C＝
，△ABC的面积为3，则c＝( )
A．
B．2 C．
D．
3．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为
，则其外接圆的直径为( )
A．
B．
C．
D．9
4．若在△ABC中，a cos (B＋C)＝b cos (A＋C)，则△ABC一定是( )
A．等边三角形 B．等腰或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
5．在△ABC中，若a＝
b，A＝2B，则cos B等于( )
A．
B．
C．
D．
6．在△ABC中，a＝
，b＝
，A＝30°，则c等于( )
A．2 B．
C．2或 D．以上都不对
7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的面积为( )
A．3π B．4π C．12π D．16π
8．如图，一栋建筑物AB的高为(30－10) m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为( )
A．30 m B．60 m
C．30 m D．40 m
9．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝
，AC＝4，BC＝3，则tan B＝( )
A． B．2 C．4 D．8
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－
sin A)，则A等于( )
A．
B．
C．
D．
11．△ABC中各角的对应边分别为a，b，c，满足
＋
≥1，则角A的范围是( )
A．
B．
C．
D．
12．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，则c的取值范围是__________.
14．已知在△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C的值为________.
15．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若
＝
，sin B＝
，S△ABC＝
，则b的值为________．
16．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号).
三、解答题(共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝2sin x cos x＋(2cos2x－1).
(1)若△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f
＝
，求锐角A的大小；
(2)在(1)的条件下，若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．
18．(12分)(2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2(
＋A)＋cos A＝
.
(1)求A；
(2)若b－c＝
a，证明：△ABC是直角三角形.
19．(12分)(2020·绵阳高一检测)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cos C－c＝2a.
(1)求B的大小；
(2)若a＝3，且AC边上的中线长为
，求c的值．
20.(12分)(2020·上饶高一检测)如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100 km的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给这汽车的司机．
(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？
(2)在(1)的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角．
21．(12分)(2020·天津高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.
(1)求角C的大小；