解三角形复习全攻略-【数理报】2021-2022学年高中数学必修5复习专号（北师大版）

书书书 复习导言 正弦定理、余弦定理揭示了一般三角形中的边与 角之间的联系与规律，解三角形是其具体应用．复习时 应深刻理解定理的证明思路和过程，熟练掌握定理的 结构特征及应用． 题型解析 题型一：已知两角一边解三角形 例１已知在△ＡＢＣ中，ｃ＝１０，Ａ＝４５°，Ｃ＝３０°， 求ａ，ｂ和Ｂ． 解析：因为ｃ＝１０，Ａ＝４５°，Ｃ＝３０°， 所以Ｂ＝１８０°－（Ａ＋Ｃ）＝１０５°． 由正弦定理知ａ＝ｃｓｉｎＡｓｉｎＣ＝ １０×ｓｉｎ４５° ｓｉｎ３０° ＝ 槡１０２， ｂ＝ｃｓｉｎＢｓｉｎＣ＝ １０×ｓｉｎ１０５° ｓｉｎ３０° ＝２０ｓｉｎ７５°＝２０× 槡６＋槡２ ４ ＝ 槡５６＋ 槡５２． 点评：已知两角和任意一边，求其他两边和一角， 策略是先用三角形内角和定理求出第三角，再直接利 用正弦定理求出其他两边． 题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形 例２在△ＡＢＣ中，已知ａ＝槡３，ｂ＝槡２，Ｂ＝４５°， 解三角形． 解析：由正弦定理及已知条件，得 槡 ３ ｓｉｎＡ＝ 槡２ ｓｉｎ４５°， 解得ｓｉｎＡ＝槡３２． 因为ａｓｉｎＢ＜ｂ＜ａ，所以Ａ＝６０°或１２０°． 当Ａ＝６０°时，Ｃ＝１８０°－４５°－６０°＝７５°， 所以ｃ＝ｂｓｉｎＣｓｉｎＢ ＝ 槡２ｓｉｎ７５° ｓｉｎ４５° ＝ 槡６＋槡２ ２ ； 当Ａ＝１２０°时，Ｃ＝１８０°－４５°－１２０°＝１５°， 所以ｃ＝ｂｓｉｎＣｓｉｎＢ ＝ 槡２ｓｉｎ１５° ｓｉｎ４５° ＝ 槡６－槡２ ２ ． 点评：已知两边和其中一边的对角，容易求出另一 边所对的角，从而三个角都可求出，但要注意多解情况． 题型三：已知两边及夹角解三角形 例３在△ＡＢＣ中，已知ａ＝７，ｂ＝８，ｃｏｓＣ＝１３１４， 则最大角的余弦值为 ． 解析：因为ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ＝７２＋８２－２× ７×８×１３１４＝９，即ｃ＝３． 故ｂ边最大，从而Ｂ角最大， 则ｃｏｓＢ＝ａ ２＋ｃ２－ｂ２ ２ａｃ ＝－ １ ７． 点评：已知三角形中的条件为两边及其夹角，易想 到利用余弦定理建立等量关系进行求解，同时注意结 合三角形的内角和定理和正弦定理进行判断，以免出 现错解． 题型四：已知三边解三角形 例４在△ＡＢＣ中，ａ＝７，ｂ＝３，ｃ＝５，求△ＡＢＣ的 最大角和ｓｉｎＣ． 解析：因为ａ＞ｃ＞ｂ，所以Ａ为最大角． 由ｃｏｓＡ＝ｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ ＝ ３２＋５２－７２ ２×３×５ ＝－ １ ２， 又０°＜Ａ＜１８０°，所以Ａ＝１２０°． 由 ａ ｓｉｎＡ＝ ｃ ｓｉｎＣ，得ｓｉｎＣ＝ ｃｓｉｎＡ ａ ＝ ５ｓｉｎ１２０° ７ ＝ 槡５３ １４． 点评：已知三角形的三边求角，可先用余弦定理求 解，再用正弦定理求解．用余弦定理求角时，角惟一确 定；用正弦定理求角时，需根据三角形边角关系确定角 的取值，防止产生增根或漏解． 题型五：判断三角形形状 例５在△ＡＢＣ中，如果ｌｇａ－ｌｇｃ＝ｌｇｓｉｎＢ＝－ 槡ｌｇ２， 且角Ｂ为锐角，判断此三角形的形状． 解析：由题有ｌｇｓｉｎＢ＝－ 槡ｌｇ２＝ｌｇ槡 ２ ２， 所以ｓｉｎＢ＝槡２２，又Ｂ是锐角，则Ｂ＝４５°． 又因为ｌｇａ－ｌｇｃ＝－ 槡ｌｇ２， 即ｌｇａｃ ＝ｌｇ 槡２ ２，所以 ａ ｃ ＝ 槡２ ２． 由正弦定理得 ｓｉｎＡ ｓｉｎＣ＝ 槡２ ２，即槡２ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＡ， 所以Ａ＝１８０°－Ｂ－Ｃ＝１８０°－４５°－Ｃ＝１３５°－Ｃ， 所以槡２ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎ（１３５°－Ｃ）， 则ｃｏｓＣ＝０，即Ｃ＝９０°． 故所求三角形是等腰直角三角形． 点评：已知三角形中的边角关系式，应用正弦定理 来判断三角形的形状，主要有两种途径：（１）化边为角； （２）化角为边．另外还可考虑使用正弦定理的推广形式 来帮助判断． 题型六：求三角形的面积 例６在△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，ｃ分别为角Ａ，Ｂ，Ｃ所对边的 长，且ａ＝４，ｂ＋ｃ＝５，ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝槡３（ｔａｎＡｔａｎＢ －１），求△ＡＢＣ的面积． 解析：由ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝槡３（ｔａｎＡｔａｎＢ－１），得 ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ １－ｔａｎＡｔａｎＢ＝ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）＝－槡３． 因为Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°，所以ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）＝－ｔａｎＣ ＝－槡３，即ｔａｎＣ＝槡３，所以Ｃ＝６０°． 因为ｂ＋ｃ＝５，所以ｃ＝５－ｂ． 由ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ，得 （５－ｂ）２ ＝１６＋ｂ２－４ｂ，解得ｂ＝ ３２． 所以△ＡＢＣ的面积Ｓ＝ １２ａｂｓｉｎＣ＝ 槡３３ ２． 点评：本题在求解过程中，充分利用两角和的正切 公式的变形，求出特殊角的函数值，然后利用余弦定理 得到ａ，ｂ，ｃ之间的关系，再与已知条件联立组成方程求 出ｂ，从而使问题获得解决． 题型七：证明三角恒等式 例７已知在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ，求证