11.2 正弦定理(课堂培优)-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第二册）

11.2正弦定理 一、单选题 1. 设的面积为，它的外接圆面积为，若的三个内角大小满足，则的值为      A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题． 根据题意，可得，，，可得的面积为，外接圆面积为，利用正弦定理即可得解． 【解答】解：在中，的三个内角大小满足， ，，， ． 设外接圆的半径为， 则， ， ． 故选D．   2. 希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学特别是与“月牙形”有关的问题如图所示阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查三角形和圆的有关计算，扇形的面积公式，属于中档题． 由题意可得，的外接圆半径为，进一步进行求解即可． 【解答】 解：由余弦定理可得， 解得， 设的外接圆半径为， 则由正弦定理得，，解得． 由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为， 则弓形的面积为， 外侧圆弧以为直径，所以外侧半圆的面积为， 则月牙形的面积为． 故选A．    3. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的形状为 A. 等腰非等边三角形 B. 直角非等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与辅助角公式，求得的值是关键，属于中档题． 由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可得，结合范围，可求，利用正弦定理可得，再利用，及两角差的正弦可求得，从而可求得，继而可判断的形状． 【解答】 解：， 由正弦定理可得， 又， ， 可得， 为三角形内角，， ， ， ， ， 由正弦定理得：， ， ， 即， 整理得：， 即， ，， 故A， 是等边三角形． 故选：．    4. 若是垂心，且，则      A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于较难题． 利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知式子两端同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简得到得，再把化为，整理就可以得到的值． 【解答】 解：在中，，由， 得， 连接并延长交于， 是垂心，，又， ，两端同乘以得： ， ，， 由正弦定理化为 ， ，又， 得， ， ，代入式，得： ，又，约去， 得． 故选：．    5. 在中，若，则     A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查同角三角函数关系、两角和差公式、诱导公式以及正余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题．  先根据题意通过同角三角函数关系、两角和差公式、诱导公式化简得到，则，再通过余弦定理，以及基本不等式求得，根据余弦函数的性质，即可得到的最大值． 【解答】 解：因为， 所以， 所以 ， 所以， 由正弦定理得到：， 所以， 当且仅当时“”成立， 所以， 则的最大值为． 故选A．    二、多选题（本大题共3小题，共15.0分） 6. 下列结论正确的是 A. 在中，若，则 B. 在锐角三角形中，不等式恒成立 C. 在中，若，，则为等腰直角三角形 D. 在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为 【答案】ABC 【解析】 【分析】 本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，着重考查了利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题． 项中利用正弦定理得正确；项利用余弦定理得B正确； 项中由，利用余弦定理整理可得，联立得出求出，即可得出C正确； 项中由三角形面积公式求出，再由余弦定理求出，最后由正弦定理得出外接圆半径即可． 【解答】 解：项，在中，由正弦定理可得， 所以，故A正确； 项，因为为锐角，由余弦定理可得， 所以恒成立，故B正确； 项，，， ， ， ， 联立得， ， 为等腰直角三角形，故C正确； 项，由题意可得， ， 由余弦定理可得 ， ， 由正弦定理可得， 故外接圆的半径为． 故D错误． 故选ABC．    7. 在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是 A. 若，则的面积是 B. 若，的外接圆半径是 C. 若，则 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】 本题主要考查三角的正弦定理、三角形面积的应用，以及三角的两角和差公式、二倍角公式以及三角函数的性质． 先根据题意以及三角形的正弦定理和面积公式，即可判断前三个选项的正误，再根据三角函数的正弦定理以及三角函数的性质、两角和差公式、二倍角公式即可判断最后一个选项