6.3 二项式定理 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

二项式定理 1 二项式展开式 2 二项展开式的通项公式 3 二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 . 4 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，直线是图象的对称轴． (2)增减性与最大值： 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 ，取得最大值． (3)二项式系数和：， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于， PS 令，则， 令 ，则， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. 特别提醒 1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 2．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项. 【题型一】 二项式展开式 【典题1】若的展开式中，的系数是，则 (　　) A． B．所有项系数之和为 C．二项式系数之和为 D．常数项为 【解析】由， 令，得． ，得，故正确； ， 取，可得所有项系数之和为，故正确； 二项式系数之和为，故正确； (二项式系数和：) 由，得，展开式的常数项为，故错误． (常数项即变量的指数为) 故选：． 【点拨】 ① 先写出展开式的通项，并把其化为最简的形式； ② 每项的二项式系数与其系数不是同一概念的. 【典题2】在二项式的展开式中，系数最大项的系数是( ) 【解析】二项式 的展开式的通项为 设， 则 当时，，即，即递减； 而，故取到最大值， 即系数最大项的系数为 【点拨】先求出系数通项，再利用求数列单调性的方法—作商法(作差法也行)求出最大项. 巩固练习 1(★★) [多选题]关于的展开式，下列结论正确的是(　　) A．奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．只有第项的二项式系数最大 D．含x项的系数为 【答案】BD 【解析】（x2）5的展开式的所有二项式系数和为32，奇数项的二项式系数和为16，故A错误； 取x＝1，可得所有项的系数和为﹣1，故B正确； （x2）5的展开式有6项，第3项与第四项的二项式系数相等且最大，故C错误； 展开式的通项为， 由10﹣3r＝1，得r＝3， ∴含x项的系数为，故D正确． 故选：BD． 2(★★) [多选题]设常数，对于二项式的展开式，下列结论中，正确的是(　　) A．若，则各项系数随着项数增加而减小 B．若各项系数随着项数增加而增大，则 C．若，，则第项的系数最大 D．若，，则所有奇数项系数和为 【答案】BCD 【解析】二项式(1+a)n的展开式的通项为Tr+1=ar∁nr， 对于A：若a<0，则各项系数一正一负交替出现，故A不对， 对于B：对于任意的r=0，1，2，…，n－1，都成立， 所以a>0，且对任意的r都成立， ∴a>n，故B正确； 当a=－2，n=10，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值， 所以，只需比较，，…，，，即可， 可得，最大，即展开式中第7项的系数最大，故C正确； 当a，n=7，则奇数项系数和为：239，故D正确； 故选：BCD． 3(★★★) [多选题]设，则满足的正整数的值可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【解析】二项式的展开式的通项T， 所以，要使， 则， 即()2•22n=2， 化简得n2－5n+6=0，解得n=2或3， 故选：BC． 4(★★★) 已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： (1)求的值； (2)求展开式中常数项； (3)计算式子的值． 【答案】（1）6 （2）60 （3）729 【解析】(1)二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 ：2：5， 求得． (2)展开式的通项公式为 Tr+1•26－r•，令60，求得r=4， 可得常数项为 •22=60． (3)(2+1)6=36=729． 【题型二】两个二项式相乘 【典题1】已知的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的有(　　) A． B．展开式中常数项为 C．展开式系数的绝对值的和 D．若为偶数，则展开式中系数是系数的倍 【解析】对于， 令，可得的展开式中各项系数的和为， ，故A正确； 对于，易知展开式中通项为 其中， 即 则， 则展开式中常数项为， 由，易得，则，故错误; 对于， 的展开式中各项系数绝对值的和，即项的各系数和， 令，为，故正确； 对于 由， 当时，的系数是，的系数是，而，故不正确. 故选：． 【点拨】对于二个二项式模型“多项式”，比如对于选项， 想象下对展开后的形式: 若要继续展开最后得到常数项，那只有乘以的常数项和乘以的项， 即所求的常数项. 【典题2】 的展开式中的