专题01 计数原理（知识点串讲） - 2020-2021学年高二下学期数学期末考点大串讲（人教A版2019）

专题01 计数原理人教A版（2019） 【体系构建】 ： 思维导图 题型一 ：分类计数原理的应用 【基础知识】 1.分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m+n 种不同的方法. 注意：两类不同方案中方法互不相同。 2.推广分类加法计数原理： 完成一件事,如果有n类方案,且:第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 注：⑴各类方案之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方案方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理 ⑵首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数. ⑶n类方案中的方法互不相同； ⑷其特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情，它强调的是每一类中的一个方法就可以完成要做的事情． 3.利用分类加法计数原理计数时的解题流程 重要提醒：确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事． 【典型例题】 例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ [思路点拨]　根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论． [解]　法一：分析个位数，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个； 同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；…；个位是2的只有1个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 法二：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出： 12,13,14,15,16,17,18,19， 23,24,25,26,27,28,29， 34,35,36,37,38,39， 45,46,47,48,49， 56,57,58,59， 67,68,69， 78,79， 89. 共有36个符合题意的两位数． 【变式练习】 1．(变结论)本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数． [解]　当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个． 当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个． 当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个． 同理可知，当个位数字是2时，共7个． 当个位数字是0时，共9个． 由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)． 2．(变条件，变结论)用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的整数？ [解]　分三类： ①第一类为一位整数，有1,2,3，共3个； ②第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个； ③第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个． ∴共组成3＋6＋6＝15个无重复数字的整数． 【规律方法】 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置． (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准． (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复． (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏． 题型二 ：分步计数原理的应用 【基础知识】 1.分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法. 注意：无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数. 2.推广分步乘法计数原理： 完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 注：⑴各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理 ⑵首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数. ⑶无论第1步采用哪种方法，都不影响第2步方法的选取。 3.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 特别提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事． 【典型例题】 例1 回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22，343，1221，94249等.显然两位回文数有9个，即11，22，33，99；三位回文数