专题15 纯函数的计算推理综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题15纯函数的计算推理综合问题 【例1】（2021·北京·中考真题）已知二次函数，其对称轴为直线x=t． （1）当a=1，b=4时，t=________； （2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t的取值范围是________； （3）已知点C(0，a)，D(2，3a2b)，若此二次函数图象与线段CD有且仅有一个公共点，求t的取值范围． 【例2】（2021·江苏泰州·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧． （1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）； （2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值； （3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围． 【例3】（2021·山东威海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A． （1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）； （2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可） （3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值． 【例4】（2021·江苏南京·中考真题）已知二次函数的图像经过两点． （1）求b的值． （2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________． （3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围． 【例5】（2021·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． （1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标． （2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由． （3）已知，当（，是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证． 【例6】（2021·天津·中考真题）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式； （Ⅲ）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标． 【例7】（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值． 【例8】（2021·安徽·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 一、解答题 1．（2021·广东·广州市番禺执信中学二模）设抛物线G1：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＞1），当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0． (1)试用含a，c的式子表示b； (2)请比较ac和1的大小，并说明理由； (3)若c＝2，点A（x，y1）在抛物线G1上，点B（x，y2）在另一条抛物线G2上，点C（x，x）为平面内一点，若对于任意实数x点A、B到点C的距离都相等，设抛物线G2的顶点为点D，抛物线G1的对称轴与抛物线G2的交点为F，直线DF解析式为y＝mx+n，请求出m的值． 2．（2022·福建三明·一模）抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）经过点A（ - 4，0）和点B（5，） （1）求证:a + b = ； （2）若抛物线经过点C（4，0） ①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD = 2∠BAC，求点D的坐标； ②直线y = kx - 2（k≠0）与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标 3．（2020·北京通州·三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A． （1）求点A的坐标和抛物线的对称轴； （2）过点作y轴的垂线l，若抛物线与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且，结合函数的图象，求a得取值范围． 4．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，且．对于该抛物线上的任意两点，，，，当时，总有． （1）求抛物线的解析式； （2）若过点的直线与该抛物线交于另一点，与线段交于点．作，与交于点，求的最大值，并求此时点的坐标； （3）若直线与抛物线交于，两点，不与，重合），直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，试探究、之间的数量关系． 5．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥