第06讲 几何图形为背景的面积与面积比问题（2022静安、奉贤一模25题解法分析+经典变式练）-冲刺2022年中考数学压轴题全揭秘（上海专用）

第6讲 几何图形为背景的面积与面积比问题 -（2022奉贤一模25题解法分析+经典变式练） 本节压轴题解题的基本解题步骤 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 二、求解线段的长度： 三.求解面积比： 1.分别表示哪些图形的面积？ 2.面积比怎么求解？ 方案一.分别求出两个图形的面积，再求解比值； 方案二.用面积转化求解比值。 教学重难点 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 例1. （2022奉贤一模25题）如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG＝FD，联结BG，CG． （1）求证：BD•AC＝AD•BG； （2）如果BC＝10，设tan∠ABC＝m． ①如图2，当∠ABG＝90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积； ②当AB＝8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值． 【解答】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE相交于点F， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 又∵∠EAF＝∠DAC， ∴∠AFE＝∠ACD， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠BFD＝∠ACD， ∵BD⊥FG，DF＝DG， ∴BD垂直平分GF， ∴BG＝BF， ∴∠BGF＝∠BFG， ∴∠BGF＝∠ACD， 又∵∠BDG＝∠ADC＝90°， ∴△BDG∽△ADC， ∴， ∴BD•AC＝AD•BG； （2）解：①∵∠ABG＝90°， ∴∠ABD+∠GBC＝90°， ∵∠GBD+∠BGD＝90°， ∴∠ABD＝∠BGD， 同理∠GBD＝∠BAD， 由（1）知△BDG∽△ADC， ∴∠GBD＝∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 又∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADC， ∴△ADB≌△ADC（ASA）， ∴BD＝CD＝BC＝5， ∵tan∠ABC＝m． ∴tan∠BGD＝m， ∴GD＝， ∴GF＝2GD＝， ∴S△BFG＝×FG×BD＝＝； ②当BG∥AC时， ∴∠ACB＝∠GBC， ∵∠GBC＝∠CAD， ∴∠ACB＝∠CAD＝45°， 设CD＝AD＝x，则BD＝10﹣x， 由勾股定理得，x2+（10﹣x）2＝82， 解得x＝5±， 当x＝5+时，BD＝10﹣x＝5﹣，此时m＝， 当x＝5﹣时，BD＝10﹣x＝5+，此时m＝； 当BE∥CG时， ∴∠EBC＝∠BCG， 则∠CBG＝∠BCG， ∴BG＝CG， ∴BD＝CD＝5， 由勾股定理得AD＝， ∴m＝， 综上，m＝或或． 例2.（2021青浦25题） (三角形的面积比) 已知：在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝m°（0＜m≤180），点C是上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D． （1）如图1，当0＜m＜90，△BCD是等腰三角形时，求∠D的大小（用含m的代数式表示）； （2）如图2，当m＝90点C是的中点时，联结AB，求的值； （3）将沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE＝1时，求线段AD的长． 【解答】解：（1）C在AB弧线上， ∴∠OBC为锐角， ∴∠CBD为钝角， 则△BCD是等腰三角形时，仅有BC＝BD这一种情况， ∴∠D＝∠BCD， 连接OC则OA＝OC＝OB， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCD＝∠OBC， ∴∠OBC＝∠D+∠BCD＝2∠D， 在△OCD中，∠COD+2∠D+2∠D＝180°， ∴∠AOC＝m°﹣∠COD＝m°+4∠D﹣180°， ∴∠AOC＝×（180°﹣∠AOC） ＝180°﹣﹣2∠D， 在△AOD中，m°+∠OAC+∠D＝180°， ∴180°+﹣∠D＝180°， ∴∠D＝； （2）过D作DM⊥AB延长线于M，连接OC， ∵C为 中点， ∴AC＝BC， ∴∠BAC＝∠ABC且AO＝CO＝BO， ∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACO+∠BCO＝×（360°﹣90°）＝135°， ∴∠BCD＝45°， ∴45°+∠ODA＝∠ABC+∠ABD＝45°+∠ABC， ∴∠ABC＝∠ADO＝∠BAC， ∴BD＝AB＝2（勾股定理）， ∴BM＝DM＝2（∠MBD＝∠OBA＝45°，∴BM＝DM）， ∴AM＝AB+BM＝2+2， ∴AN＝AB＝， 又∵CN⊥AB，DM⊥AB， ∴△ANC∽△AMD， ∴， ∴＝＝6+4； （3）图2如下： ∵E为弧线AEC与OB切点， ∴A、E、C在半径为2的另一个圆上， ∵O′E＝2，OE＝1， ∴OO′＝（勾股定理）， 又∵OA＝OC＝2，O′A＝O′C＝2， ∴四边形AOCO′是菱形， ∴AC⊥OO′且AC、OO′互相平分， 且∠O′OE共角， ∴△O′OE∽△DOP， ∴＝且OP＝OO′＝， ∴