第04讲 二次函数中的线段相等与倍半关系问题（2022杨浦一模、2020长宁二模24题解法分析+经典变式练）-冲刺2022年中考数学压轴题全揭秘（上海专用）

第4讲二次函数中的线段相等与倍半关系问题 -（2022杨浦一模、2020长宁二模24题解法分析+经典变式练） 例1（2022杨浦一模24）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标； （3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线段PH的长度． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， ∴， ∴y＝﹣x2+x+2； （2）∵y＝﹣x2+x+2， ∴对称轴为直线x＝， 令y＝0，则﹣x2+x+2＝0， 解得x＝﹣1或x＝4， ∴B（4，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， ∴， ∴， ∴y＝﹣x+2， ∴E（，）， 设直线AE的解析式为y＝k'x+n， ∴， ∴， ∴y＝x+， 联立， ∴x＝3或x＝﹣1（不符合题意，舍去）， ∴P（3，2）； （3）解法一：设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2）， ∴PH＝﹣t2+2t， 设直线AP的解析式为y＝k1x+b1， ∴， ∴， ∴y＝x+， 联立， ∴x＝， ∴F（，）， 直线AP与y轴交点E（0，）， ∴CE＝2﹣＝， ∵PF＝PH， ∴∠PFH＝∠PHF， ∵PG∥y轴， ∴∠ECF＝∠PHF， ∵∠CFE＝∠PFH， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝EF， ∴（）2＝（）2+（﹣）2， ∴（4﹣t）2+4＝（5﹣t）2， ∴t＝， ∴PH＝﹣t2+2t＝． 例2.（2020长宁二模）如图7，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为点，抛物线与轴交于点. （1）求抛物线的表达式和点的坐标； （2）将上述抛物线向下平移1个单位， 平移后的抛物线与x轴正半轴交于点，求的面积； （3）如果点在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结交线段于点，，求点的坐标. 图7 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 O x y 解：（1） 抛物线经过点，对称轴是直线 ∴，解得 （2分） ∴抛物线的解析式为，顶点B的坐标是 （2分） （2）抛物线与轴交于点 平移后的抛物线表达式为： ，点D的坐标是 （2分） 过点做轴，垂足为点 ∴ （2分） （3）∵直线经过点、，∴直线的表达式为： 设对称轴与直线相交于点，则 ∵ ∴ （1分） 过点作，交直线于点 设点，则 ∴ （1分） ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （舍去）或 （1分） ∴ （1分） 1.（2021闵行区二模24）（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式； （2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式； （3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO的余切值． 【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解； （2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解； （3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，3）， ∴， ∴， ∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣6； （2）把x＝3代入y＝﹣x2+2x﹣5得y＝4， ∴抛物线顶点B坐标为（5，4）， 由△BOE的面积为3得BE×3＝3， ∴BE＝2， ∵点E在线段BC上， ∴点E坐标为E（3，3）， 把点E（3，2）和点A（8， ， ∴， ∴直线表达式为y＝﹣x+5； （3）如图，①若BD∥OE， 则四边形OEBD1为平行四边形， 则点D4坐标为（0，2）， 连接D5A， ∴cot∠D1AO＝＝， 综上所述，此时∠DAO的余切值为或． 【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各