第05讲 正弦定理与余弦定理（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学下学期考试满分全攻略（沪教版2020必修第二册）

第05讲 正弦定理与余弦定理(核心考点讲与练) 知识梳理 设中分别是角所对的边，为的外接圆半径，为内切圆半径，为的面积． 三角形内角和定理：． 1.正弦定理：． 2.余弦定理：． 3.三角形面积公式： 4. 利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 考点一：正弦定理解三角形 【例1】（新课程优选）★★☆☆☆ 已知中，，则___________. 【例2】（2021·上海市西南位育中学）★★☆☆☆ 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD，，米，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为___________米. 【例3】（2018·上海市七宝中学）★★☆☆☆ 若的三个内角，，，且面积，则该三角形的外接圆半径是______. 【例4】（2019·上海交通大学附属中学嘉定分校高一期中）★★☆☆☆ 中，，为边上的中点，则与的外接圆的面积之比为___________. 【巩固训练】 1.（2021·上海高一期末）★★★☆☆ 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角C为，且． （1）求的值； （2）若的内切圆的半径，求的面积． 2.（新课程优选）★★★★☆ 在中，，，，…，依次为边上的点，且，设，，…，，，则的值为___________. 考点二：三角形解的个数 【例1】（2021·上海市复兴高级中学）★★★☆☆ 在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【例2】（2021·上海）★★★☆☆ 在中，内角的对边分别为a，b，c，若，且此三角形有解，则A的取值范围是___________. 【巩固训练】 1.（2019·上海宝山区·高三一模）★★★☆☆ 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是______只需填写一个适合的答案. 考点三：余弦定理解三角形 【例1】（2021·上海闵行·高一期末）★★☆☆☆ 如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的，两点到点的距离分别为km，km，且，则隧道长度为______km． 【例2】（2021·上海高一期中）★★☆☆☆ 在中，若，则=______ 【例3】（2021·上海徐汇·高一期末）★★★☆☆ 为了测量金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线，并且在飞行路线上选择、两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度，间的距离和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角） （1）若无人机在处测得，在D处测得，其中，问： （1）能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据表示）；若不能，请说明理由． （2）若要进一步计算金茂大厦最高点与上海中心大厦最高点之间的距离，还需测量些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤． 【巩固训练】 1.（2021·上海市进才中学高一期中）★★★☆☆ 若的三边满足，则最小的内角为______. 2.（2021·上海徐汇·南洋中学高一月考）★★★☆☆ 如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为公公里，与小岛D相距为公里（其中k为常数），已知角A为钝角，且． （1）求小岛A与小岛D之间的距离；（用k表示） （2）求四个小岛所形成的四边形ABCD的面积．（用k表示） 考点四：利用正余弦定理求解三角形 【例1】（1）在中，已知，，，求b及A； （2）在中，已知，，，解三角形 【例2】在，求（1）；（2）若点 【例3】在中，为角所对的三边，已知． （1）求角的值；（2）若，，求的长. 【巩固训练】 1．在中，若，则等于（ ） A． B． C． D． 2．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A． B． C． D． 考点五：正、余弦定理判断三角形形状 【例1】在中，，则为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【例2】在中，若，则的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【例3】在中，若则的形状是什么？ 【例4】在中，分别表示三个内角的对边，如果，判断三角形的形状 【例5】如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形 C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形 【巩固训练】