专题20 等腰三角形存在性问题-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题20 等腰三角形存在性问题 考向1二次函数中的等腰三角形存在性问题 【母题来源】2021年中考四川省攀枝花卷 【母题题文】如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根． （1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式； （2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标； （3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1， ∴A（﹣4，0），B（1，0）， ∴OA＝4，OB＝1， ∵AC⊥BC， ∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC， ∵∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴△AOC∽△COB， ∴，即， ∴OC＝2，∴C（0，﹣2）， 设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1）， 将C（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣4a，∴a， ∴抛物线解析式为y（x+4）（x﹣1）x2x﹣2； （2）如图： 由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）得：AB＝5，BC，AC＝2， ∵DE⊥BC，AC⊥BC， ∴DE∥AC，∴△ABC∽△DBE， ∴， 设D（t，0），则BD＝1﹣t，∴， ∴DE（1﹣t），BE（1﹣t）， ∴S△BDEDE•BE（1﹣t）2， 而S△BDCBD•OC（1﹣t）×2＝1﹣t， ∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t（1﹣t）2t2t（t）2， ∵0，∴t时，S△CDE最大为， 此时D（，0）； （3）存在，由yx2x﹣2知抛物线对称轴为直线x， 而D（，0），∴D在对称轴上， 由（2）得DE[1﹣（）]， 当DE＝DP时，如图： ∴DP，∴P（，）或（，）， 当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，如图： ∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°， ∴△DHE∽△DEB， ∴，即， ∴HE＝1，DH＝2， ∴E（，﹣1）， ∵E在DP的垂直平分线上， ∴P（，﹣2）， 当PD＝PE时，如图： 设P（，m）， 则m2＝（）2+（m+1）2， 解得m，∴P（，）， 综上所述，P的坐标为（，）或（，）或（，﹣2）或（，）． 【试题解析】（1）由x2+3x﹣4＝0得A（﹣4，0），B（1，0），根据△AOC∽△COB，可求C（0，﹣2），从而由待定系数法可得抛物线解析式为yx2x﹣2； （2）由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）可得AB＝5，BC，AC＝2，根据△ABC∽△DBE，设D（t，0），即得DE（1﹣t），BE（1﹣t），故S△BDEDE•BE（1﹣t）2，S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE（t）2，即得S△CDE最大为，D（，0）； （3）由yx2x﹣2得抛物线对称轴为直线x，D在对称轴上，DE[1﹣（）]，当DE＝DP时，即得P（，）或（，），当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，由△DHE∽△DEB，可得E（，﹣1），而E在DP的垂直平分线上，故P（，﹣2），当PD＝PE时，设P（，m），可得m2＝（）2+（m+1）2，解得P（，）． 【命题意图】分类讨论；待定系数法；函数的综合应用；图形的相似；几何直观；应用意识． 【命题方向】考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形相似的判定及性质、三角形面积、等腰三角形判定及应用等知识，难度较大一般为压轴题． 【得分要点】以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示： 等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）． ( A B 图 1 A B C D 图 2 ) 解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算． 如图2，若AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题． （2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．有时候将几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好． 考向2 反比例函数中的等腰三角形存在性问题 【母题来源】2021年中考四川省成都卷 【母题题文】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标． 【答案】（1）∵一