专题19 对角互补模型-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题19 对角互补模型 考向 相似形对角互补模型 【母题来源】2021年中考北京朝阳卷 【母题题文】如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N． （1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且，请直接写出的值（用含 k的式子表示）． 【答案】（1）OM＝ON， 如图1， 作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E， ∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°， ∴∠DOE＝90°， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝45°， 在Rt△AOD中， OD＝OA．sin∠A＝OA．sin45°OA， 同理：OEOB， ∵OA＝OB， ∴OD＝OE， ∵∠DOE＝90°， ∴∠DOM+∠MOE＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠EON+∠MOE＝90°， ∴∠DOM＝∠EON， 在Rt△DOM和Rt△EON中， ， ∴△DOM≌△EON（ASA）， ∴OM＝ON． （2）如图2， 作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E， 由（1）知：ODOA，OEOB， ∴， 由（1）知： ∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°， ∴△DOM∽△EON， ∴， ∴ON＝k•OM． （3）如图3， 设AC＝BC＝a， ∴ABa，∵OB＝k•OA， ∴OB•a，OA•a， ∴OEOBa， ∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°， ∴ENOE•a， ∵CE＝ODOAa， ∴NC＝CE+ENa•a， 由（2）知：，△DOM∽△EON， ∴∠M＝∠N，∵， ∴，∴△PON∽△AOM， ∴∠P＝∠A＝45°，∠AMO＝∠N＝30°， ∴PE＝OEa， ∴PN＝PE+ENa•a， 设AD＝OD＝x， ∴DM， 由AD+DM＝AC+CM得， （）x＝AC+CM， ∴x（AC+CM）（AC）AC， ∴k＞1 ∴， ∴． 【试题解析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON； （2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON； （3）解Rt△EON和斜△AOM． 【命题意图】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【命题方向】一般设置为解答题，设置为压轴题. 【得分要点】如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝，则CE＝CD·tan 方法：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N 易证△MCD∽△NCE，∴，即CE＝CD·tan 1．（2021•浙江稠州二模）特例感知 （1）如图1，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证BE＝AF； 探索发现 （2）如图2，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； 类比迁移 （3）如图3，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 2．（2021•安徽模拟）（1）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°． 求证：DE＝DF； （2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°． ①求证：DF•DA＝DB•DE； ②求EF的最小值． 3．（2021•四川成都模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为线段AD上一动点，连接CE，过点B作BF⊥CE，交射线CD于点F，垂足为P． （1）求证：△CED∽△BCF； （2）当F为CD的中点时，求tan∠BAP的值； （3）若△ABP为等腰三角形时，直接写出DE的长． 4．（2021•山东济宁三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解： 请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：　矩形或正方形　； （2）问题探究； 如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展；