专题18 共顶点模型的破解问题-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题18 共顶点模型的破解问题 考向1 等边三角形共顶点 【母题来源】2021年中考贵州省黔西南州卷 【母题题文】如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F． （1）求证：BD＝CE； （2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， （2）解：结论正确，理由如下： 如图2，过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， 又∵∠AGB＝∠CGF， ∴∠BFC＝∠BAC＝60°， ∴∠BFE＝120°， ∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE， ∴AM×BDCE×AN， ∴AM＝AN， 在Rt△AFM和Rt△AFN中， ， ∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL）， ∴∠AFM＝∠AFN， ∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°． 【试题解析】（1）通过SAS证明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE；（2）作AM⊥BF，AN⊥CE，由全等知AG＝AH，从而得到AF平分∠BFE，证出∠AFM＝∠AFN＝60°，从而证出结论． 【命题意图】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力． 【命题方向】一般为解答题，放置于压轴位置，以类比探究为解决问题的基本思想方法. 【得分要点】等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线． 连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则： （1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD； （3）∠AFB＝∠DFE＝60°；（4）FC平分∠BFE； （5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （6）△CGH为等边三角形． 考向2 等腰直角三角形共顶点 【母题来源】2021年中考贵州省毕节卷 【母题题文】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F． （1）求证：BD＝CE，BD⊥CE； （2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由． 【答案】证明：（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， 又∵∠AOB＝∠COF， ∴∠BFC＝∠BAC＝90°， ∴BD⊥CE； （2）AF∥CD，理由如下： 如图2，作AG⊥BF于G，AH⊥CE于H， 由（1）知△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE， ∴AG＝AH， 又∵AG⊥BF，AH⊥CE， ∴AF平分∠BFE， 又∵∠BFE＝90°， ∴∠AFD＝45°， ∵∠BDC＝135°， ∴∠FDC＝45°， ∴∠AFD＝∠FDC， ∴AF∥CD． 【试题解析】（1）通过SAS证明△ABD≌△CAE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再利用三角形内角和定理可证BD⊥CE； （2）作AG⊥BF，AH⊥CE，由全等知AG＝AH，从而得到AF平分∠BFE，证出∠AFD＝∠FDC＝45°，从而证出平行． 【命题意图】平移、旋转与对称；推理能力． 【命题方向】一般设为解答题，具有很强的甄别性，为压轴题 【得分要点】等腰直角三角形共顶点：等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°． 如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，则： （1）△BCD≌△ACE；（2）AE＝BD； （3）AE⊥BD；（4）FC平分∠BFE； （5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2 （6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）； （8）S△ACD＝S△BCE. 1．（2021•山东胶州市模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD＝90°，连接BE，AD．若AC＝BC，CE＝CD． ①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，写出结论并说明理