专题16 二次函数与最短路径问题-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题16 二次函数与最短路径问题 考向1 利用轴对称求线段之和的最小值 【母题来源】2021年中考山东省东营卷 【母题题文】如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线yx+2过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：△AOC∽△ACB； （3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值． 【答案】（1）∵直线yx+2过B、C两点， 当x＝0时，代入yx+2，得y＝2，即C（0，2）， 当y＝0时，代入yx+2，得x＝4，即B（4，0）， 把B（4，0），C（0，2）分别代入yx2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x+2； （2）∵抛物线yx2x+2与x轴交于点A， ∴x2x+2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴点A的坐标为（﹣1，0）， ∴AO＝1，AB＝5， 在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2， ∴AC， ∴， ∵， ∴， 又∵∠OAC＝∠CAB， ∴△AOC∽△ACB； （3）设点D的坐标为（x，x2x+2）， 则点E的坐标为（x，x+2）， ∴DEx2x+2﹣（x+2） x2x+2x﹣2 x2+2x （x﹣2）2+2， ∵0， ∴当x＝2时，线段DE的长度最大， 此时，点D的坐标为（2，3）， ∵C（0，2），M（3，2）， ∴点C和点M关于对称轴对称， 连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小， 连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2）， ∴CD， ∵PD+PM＝PC+PD＝CD， ∴PD+PM的最小值为． 【试题解析】（1）直线yx+2过B、C两点，可求B、C两点坐标，把B（4，0），C（0，2）分别代入yx2+bx+c，可得解析式． （2）抛物线yx2x+2与x轴交于点A，即y＝0，可得点A的横坐标，由相似三角形的判定得：△AOC∽△ACB． （3）设点D的坐标为（x，x2x+2），则点E的坐标为（x，x+2），由坐标得DEx2+2x，当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为（2，3），即点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，由勾股定理得CD，根据PD+PM＝PC+PD＝CD，即可求解． 【命题意图】函数思想；应用意识． 【命题方向】主要为解答题，一般为压轴题，具有很强的甄别性. 【得分要点】已知：在直线l同恻有A．B两点，在l上找一点P，使得AP＋PB最小． ( A B l ) 作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P ( B A P l A ' ) 考向2 利用三点共线求线段之和的最小值 【母题来源】2021年中考湖北省恩施卷 【母题题文】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5， 则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0）， 则，解得故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3； （2）存在，理由：∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5）， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m）， 由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26， 设点Q的坐标为（s，t）， ∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形， 故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ）， 则或， 解得或， 故点F的坐标为（﹣1，5）或（﹣1，5）或（﹣1，）或（﹣1，）； （3）存在，理由： 由题意抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0）， 连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小， 理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP