专题15 二次函数与方程不等式的关系-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题15 二次函数与方程不等式的关系 考向1 二次函数与方程的关系 【母题来源】2021年中考贵州省铜仁卷 【母题题文】已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】C 【试题解析】∵直线y＝kx+2过一、二、三象限． ∴k＞0． 联立直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3组成方程组得： ．∴x2﹣2x+3＝kx+2． ∴x2﹣（2+k）x+1＝0． ∴Δ＝（﹣2﹣k）2﹣4＝k2+4k ∵k＞0．∴Δ＞0． ∴直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为2个．故选：C． 【命题意图】考查一次函数的性质，以及二次函数与一次函数的交点特征．关键在于建立方程组，利用一元二次方程的判别式的正负性进行判断． 【命题方向】一般为选填题，难度不大，将函数与方程进行有机融合. 【得分要点】函数与方程的关系： （1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值 考向2 二次函数与不等式的关系 【母题来源】2021年中考广西贺州卷 【母题题文】如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 【答案】D 【试题解析】∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称， ∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称， 如图所示： ∵A（﹣3，y1），B（1，y2）， ∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2）， 根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3， 故选：D． 【命题意图】用函数的观点看方程（组）或不等式；应用意识． 【命题方向】选填题型，考查利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题． 【得分要点】二次函数与不等式的关系 （1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值； （2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值； （3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值； （4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值． 1．（2021•云南腾冲市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　） A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5 【答案】A 【解析】∵y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点， ∴二次函数的对称轴是直线：x1， ∴y＝ax2+bx+c+m的对称轴也是直线x＝1， ∴二次函数与x轴的交点坐标是（5，0），（﹣3，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c+m＝0两个根，其中一个是﹣3， ∵y＝ax2+bx+c﹣n的对称轴也是直线x＝1， ∴关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）两个整数根的和是2， ∵﹣2+4＝2， ∴两个整数根是﹣2或4；故选：A． 2. （2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中，A的坐标为（1，﹣2），B的坐标为（﹣1，﹣5），若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB的下方，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣3 B．m＞2 C．m＜﹣2或m＞2 D．m＜﹣3或m＞2 【答案】D 【解析】∵y关于x的二次函数为y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1， ∴顶点式为y＝﹣（x﹣m）2﹣1， ∴抛物线顶点为（m，﹣1）， 当﹣1≤m≤1时， ∵﹣1＞﹣2＞﹣5， ∴顶点在线段AB的上方，不符合题意； 当m＜﹣1时， 若二次函数的图象与线段AB交于点B， 则当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5， 解得：m1＝﹣3，m2＝1（舍去）， ∴要使二次函数的图象在线段AB的下方， 则需要将图象向左平移，