专题14 一元二次方程的整数根问题-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题14 一元二次方程的整数根问题 考向1 一元二次方程的整数根问题 【母题来源】2021年中考湖北省十堰卷 【母题题文】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0，解得m； 所以实数m的取值范围为m； （2）设x1，x2是方程的两根， 根据题意得x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞0，解得m，而m， 所以m的取值范围为m，因为m为整数，所以m＝1或m＝2， 当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数； 所以整数m的值为1． 考向2函数中的一元二次方程整数根问题 【母题来源】2021年中考山东省威海卷 【母题题文】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m的顶点为A． （1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）； （2）若点B（2，yB），C（5，yC）在抛物线上，且yB＞yC，则m的取值范围是 　　；（直接写出结果即可） （3）当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值． 解：（1）解法一： y＝x2+2mx+2m2﹣m＝（x+m）2﹣m2+2m2﹣m ＝（x+m）2+m2﹣m，∴顶点A（﹣m，m2﹣m）， 解法二：∵抛物线的对称轴为直线x， ∴代入关系式得，y＝（﹣m）2+2m（﹣m）+2m2﹣m＝m2﹣m， ∴顶点A（﹣m，m2﹣m）， （2）解法一：∵，a＝1开口向上，如图， ∴当对称轴大于3.5时满足题意， ∴﹣m＞3.5，∴m＜﹣3.5， 解法二：∵点B（2，yB），C（5，yC）在抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m上， ∴yB＝4+4m+2m2﹣m，yC＝25+10m+2m2﹣m， 又∵yB＞yC，∴yB﹣yC＝（4+4m）﹣（25+10m）＞0， 解得，m＜﹣3.5，故答案为：m＜﹣3.5； （3）分三种情况讨论： ①当对称轴x＝﹣m≤1即m≥﹣1时，如图， 当x＝1时，y＝6， ∴6＝1+2m+2m2﹣m，整理得，2m2+m﹣5＝0， 解得，，（舍去），∴， ②当1＜﹣m≤3即﹣3≤m＜﹣1时，如图， 当x＝﹣m，y＝6，∴6＝m2﹣m， 整理得，m2﹣m﹣6＝0， 解得，m1＝﹣2，m2＝3（舍），∴m＝﹣2， ③当﹣m＞3即m＜﹣3时，如图，当x＝3时，y＝6， ∴6＝9+6m+2m2﹣m，整理得，2m2+5m+3＝0， 解得，（两个都舍去）， 综上所述：m＝﹣2或m． 【试题解析】（1）利用配方法或者利用对称轴公式求解即可； （2）根据题意可得，当对称轴大于3.5时满足题意，即可得到答案，或者代入x值，根据题意计算两数差值即可； （3）分三种情况进行讨论，对称轴在1左侧，在1和3之间，在3右侧，然后求出m的值进行取舍即可得到答案． 【命题意图】利用二元一次方程的性质以及二次函数的图像与性质，解决相关取值范围的问题. 【命题方向】主要设问形式为解答题，一般设置为压轴题. 【得分要点】（1）利用一元二次方程的整数根进行分析关键点； （2）数形结合判断出取值范围． 1．（2021•甘肃模拟）已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0． （1）求证：不论m取何值，此方程总有实数根； （2）若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值． 2. （2021•湖北十堰一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根都为整数，求正整数m的值． 3.（2021•湖北荆州三模）某数学兴趣小组在探究函数y＝x2﹣2|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：（1）研究函数特点： 该小组认为，可以将该函数转化为已经学过的二次函数来研究，即将绝对值符号去掉，得到分段函数（每段均为二次函数），其解析式为（填空）：y＝x2﹣2|x|+3． （2）画图象： 在给出的坐标系中，分别画出当x≥0时和x＜0时所对应的二次函数的图象；（要求描出横坐标分别为﹣3，﹣2，﹣1，0．，1，2，3所对应的点） （3）研究性质： 根据函数图象，完成以下问题： ①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有　　（填写正确选项的代码）． A．对称轴是直线x＝1 B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2） C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大 D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位长度时，图象与x轴有三个公共点． ②结合图象探究发现，当m满足 　　时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解； ③设函数y＝x2﹣2|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2﹣2|