专题13 二次函数基本性质探究-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题13 二次函数基本性质探究 考向1 二次函数的图像与性质 【母题来源】2021年中考福建省卷 【母题题文】二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0 【答案】C 【试题解析】如图，由题意对称轴为直线x＝1， 观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3， 若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意， 若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意， 若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意， 若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意， 故选：C． 【命题意图】会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并合理利用对称轴以及开口进行比较大小． 【命题方向】中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查. 【得分要点】比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法； (2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断． 考向2 二次函数图像与系数的关系 【母题来源】2021年中考山东省枣庄卷 【母题题文】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m）．正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【试题解析】∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴x，即b＝﹣a， ∴b＞0，∴abc＜0，故①正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0）， ∴0＝4a+2b+c， 故③不正确；又可知b＝﹣a， ∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线x，且1，2， ∴y1＞y2，故选④不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是x， ∴当x时，抛物线y取得最大值ymax， 当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m， ∴ymax＞ym，故⑤正确， 综上，结论①②⑤正确，故选：B． 【命题意图】考查二次函数的基本性质，一般利用数形结合思想以及代入法进行判断解答，培养学生的基本运算能力. 【命题方向】中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查． 【得分要点】据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷. 考向3 确定二次函数解析式 【母题来源】2021年中考江苏无锡卷 【母题题文】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：　yx2　． 【答案】yx2 【试题解析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图： ∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴AD∥BE， ∴△ACD∽△BCE， ∴，∵CB＝3AC， ∴CE＝3CD，BE＝3AD， 设AD＝m，则BE＝3m， ∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上， ∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2）， ∴OD＝m2，OE＝9m2， ∴ED＝8m2，而CE＝3CD， ∴CD＝2m2，OC＝3m2，∴C（0，3m2）， ∵P为CB的中点，∴P（m，6m2）， 又已知P（x，y）， ∴，∴yx2；故答案为：yx2． 【命题意图】考查二次函数的基本性质，一般利用数形结合思想以及代入法进行判断解答，培养学生的基本运算能力. 【命题方向】中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题，以及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，倘若为解答题，一般作为压轴题的第一问． 【得分要点】用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若