专题3 一大一小的三角题-备战2022年高考数学命题意图揭秘（江苏、山东等新高考地区专用）

专题3 一大一小的三角题 一、真题展示 1.（2020新高考山东卷T10）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)= （ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】由函数图像可知：,则,所以不选A, 当时,, 解得：, 即函数的解析式为： . 而,故选BC. 2.（2020新高考山东卷T17）在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值；若问题中的三角形不存在,说明理由． 问题：是否存在,它的内角的对边分别为,且,,________? 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分． 【解析】解法一： 由可得：, 不妨设, 则：,即. 选择条件①的解析： 据此可得：,,此时. 选择条件②的解析： 据此可得：, 则：,此时：,则：. 选择条件③的解析： 可得,, 与条件矛盾,则问题中的三角形不存在. 解法二：∵, ∴, ∴,∴,∴,∴, 若选①,,∵,∴,∴c=1; 若选②,,则,; 若选③,与条件矛盾. 3．（2021新高考Ⅰ卷T4）下列区间中,函数单调递增的区间是　　 A． B．, C． D．, 【答案】A 【解析】：令,． 则,． 当时,,,,,故选A． 4．（2021新高考Ⅰ卷T19）记的内角,,的对边分别为,,．已知,点在边上,． （1）证明：； （2）若,求． 【解析】（1）解法一：证明：由正弦定理知,, ,, ,,即, ．； 解法二：证明：由正弦定理知, （2）解法一：由（1）知, ,,, 在中,由余弦定理知,, 在中,由余弦定理知,, , ,即,得, ,,或, 在中,由余弦定理知,, 当时,（舍；当时,； 综上所述,． 解法二：在中① 由余弦定理得②, 联立①②得, ,,或, 在中,由余弦定理知,, 当时,（舍；当时,； 综上所述,． 5. （2021新高考Ⅱ卷T18）在中,角、、所对的边长分别为、、,,.． （1）若,求的面积； （2）是否存在正整数,使得为钝角三角形?若存在,求出的值；若不存在,说明理由． 【解析】：（1）因为,则,则,故,, ,所以,锐角,则, 因此,； （2）显然,若为钝角三角形,则为钝角, 由余弦定理可得, 解得,则, 由三角形三边关系可得,可得,,故. 二、命题意图揭秘 三角函数及解三角形是新高考热点,新高考对三角函数及解三角形的考查,主要有3个方面：一是三角变换.主要考查利用三角变换求值；二是三角函数的图象与性质；三是解三角形,从近两年的命题模式看,一般是一道大题、一道小题,大题通常为解三角形,难度为中等或中等偏易,一般位于解答题前3个题的位置上,客观题通常为三角函数的图象与性质,有时也考查三角变换,难度通常为容易题或中等题.2020年新高考卷一道是三角函数的图象、一道是解三角形,2021年新高考Ⅰ卷两道题分别考查三角函数的性质与解三角形,2021新高考Ⅱ卷仅有1道解三角形的试题,预测2022年新高考客观题考查三角函数的性质的概率比较大,解答题会继续考查解三角形,另外新高考试卷常以开放题形式考查解三角形,请考生重视. 三、重点知识与方法整合 1.三角函数诱导公式 （1）对于形如即满足中取偶数时：等于角的同名三角函数,前面加上一个把看成是锐角时,该角所在象限的符号； （2）对于形如即满足中取奇数时：等于角的余名三角函数,前面加上一个把看成是锐角时,该角所在象限的符号. （3）口诀：奇变偶不变,符号看象限（看原函数,同时可把看成是锐角）. （4）运用诱导公式转化角的一般步骤： ①负化正：当已知角为负角时,先利用负角的诱导公式把这个角的三角函数化为正角的三角函数值； ②正化负：当已知角是大于的角时,可用的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间内的三角函数值； ③主化锐：当已知角是到内的角时,可利用的诱导公式把这个角的三角函数值化为到内的角. 2.两角和与差的三角函数公式 （1）两角和与差的正弦公式：. 变形式：； （2）两角和与差的余弦公式： 变形式：；； （3）两角和与差的正切公式：. 变形式：. （4）运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点. 3.二倍角公式的正弦、余弦、正切 （1）二倍角的正弦公式:； 二倍角的余弦公式:； 二倍角的正切公式: . （2）降幂公式：；；. （3）升幂公式：;;. 注意：在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于2是的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意三个角的内在联系的作用