专题4 可易可难的两道数列题-备战2022年高考数学命题意图揭秘（江苏、山东等新高考地区专用）

专题4可易可难的两道数列题 一、真题展示 1.（2020新高考山东卷T14）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________． 2.（2020新高考山东卷T18）已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数,求数列的前项和． 3．（2021新高考Ⅰ卷T16）某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　5　；如果对折次,那么　　． 4．（2021新高考Ⅰ卷T17）已知数列满足, （1）记,写出,,并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 5. （2021新高考Ⅱ卷T12）设正整数,其中,记．则（ ） A. B. C. D. 6. （2021新高考Ⅱ卷T17）记是公差不为0的等差数列的前n项和,若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 二、命题意图揭秘 从近两年的新高考试题来看,对于数列问题每套新高考试卷都有一道客观题,一道解答题,客观题大多具有小巧活的特点,可能是基础题也可能是难度较大的压轴题,解答题主要考查数列的通项与求和,一般位于解答题前2题的位置上,属于得分题.2020年新高考卷客观题考查了等差数列的求和问题,解答题考查了等比数列的通项与求和,2021年新高考Ⅰ卷客观题考查了数列的实际应用,解答题考查了分段数列的通项与求和,新高考Ⅱ卷客观题考查了数列的新定义问题,解答题考查了等差数列的通项与求和,预测2022年新高考试卷客观题对数列的考查出基础题的可能性比较大,其中数列与数学文化及实际应用的交汇问题应引起考生重视,解答题仍以考查数列的通项与求和为主. 三、重点知识与方法整合 1.等差数列的有关概念： （1）等差数列的判断方法：定义法或. （2）等差数列的通项：或. （3）等差数列的前和：,. （4）等差中项：若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且. 2.等差数列的性质： （1）当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. （2）若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列. （3）当时,则有,特别地,当时,则有. (4) 若、是等差数列,则、 (、是非零常数)、、 ,…也成等差数列,而成等比数列；若是等比数列,且,则是等差数列. （5）在等差数列中,当项数为偶数时,；项数为奇数时,,（这里即）；. （6）若等差数列、的前和分别为、,且,则. (7)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性.上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想）,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 3.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法：定义法,其中或. （2）等比数列的通项：或. （3）等比数列的前和：当时,；当时,.. 特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式,为此在求等比数列前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比是否为1时,要对分和两种情形讨论求解. （4）等比中项：若成等比数列,那么A叫做与的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个. 4.等比数列的性质： (1)当时,则有,特别地,当时,则有. (2) 若是等比数列,则、、成等比数列；若成等比数列,则、成等比数列； 若是等比数列,且公比,则数列 ,…也是等比数列.当,且为偶数时,数列 ,…是常数数列0,它不是等比数列. (3)若,则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ,则为递减数列；若, 则为递增数列；若,则为摆动数列；若,则为常数列. (4) 当时,,这里,但,这是等比数列前项和公式的一个特征,据此很容易根据,判断数列是否为等比数列. (5)如果数列既成等差数列又成等比数列,那么数列是非零常数数列,故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件. 5.数列的通项的求法： ⑴公式法： ①等差数列通项公式； ②等比数列通项公式.⑵已知（即）求,用作差法：. ⑶已知求,用作商法：. ⑷若求用累加法： . ⑸已知求,用累乘法：.⑹已知递推关系求,用构造法（构造等差、等比数列）.特别地,（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.如(21