专题08 平面向量与三角形的四心问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题08 平面向量与三角形的四心问题 1、重心的定义：三角形三条中线的交点； 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 典例1．（2021春•天津期中）在△ABC中，非零向量，，满足，则点O是△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】根据题意，设BC的中点为D，由向量加法的性质可得2，则有O在BC的中线AD上，同理可得O在AC和AB的中线上，即可得答案． 【解答】解：根据题意，设BC的中点为D，则2， 若，则有2，则O在BC的中线AD上， 同理：O在AC和AB的中线上， 故O是△ABC的重心； 故选：C． 典例2．（2020•青秀区校级模拟）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足λ（），λ∈R．则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】通过向量的数量积，结合向量和的几何意义，判断P的轨迹经过的三角形的重心． 【解答】解：由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径， 所以动点P满足λ（）2λR（）．因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线A为起点的向量，经过BC的中点， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 故选：C． 1、垂心的定义：三角形三条高的交点。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：， . 典例1．在△ABC中，若•••，则点O是△ABC的　垂心　（填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）． 【分析】将等式••，移项、提公因式变形得•0，从而得出OB⊥CA，同理得：OA⊥BC，OC⊥AB，从而可得O为垂心． 【解答】解：∵••， ∴•0， ∴•（）＝0， ∴•0， ∴⊥， ∴OB⊥CA， 同理可得：OA⊥BC，OC⊥AB， 故答案为：垂心． 典例2．（2021春•永州期末）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点H为△ABC的垂心，则　18　． 【分析】延长AH交BC于点D，根据AB＝AC及垂心的性质得到D为BC的中点，⊥，再根据数量积的运算性质即可求解结论． 【解答】解：如图，延长AH交BC于点D， 因为AB＝AC，点H为△ABC的垂心， 所以D为BC的中点，⊥， 所以||cos∠HBC＝||||||²＝18． 故答案为：18． 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长. （2），，则一定经过三角形的内心. 典例1．（2021•山东模拟）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足a•b•c•，则G是△ABC中的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】用表示出，结合图形即可得出G在∠BAC的角平分线上． 【解答】解：∵a•b•c•， ∴ab（）+c（）， ∴（a+b+c）bc， 即， ∴G在∠BAC的角平分线上， 同理可得：G在∠ABC的角平分线上， ∴G是△ABC的内心． 故选：A． 典例2．（2021春•城关区校级期末）已知△ABC，平面内一动点P满足λ（），则动点P过△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】确定的方向与∠BAC的角平分线一致，从而可得的方向与∠BAC的角平分线一致，即可得到结论． 【解答】解：∵，分别表示，方向上的单位向量， ∴的方向与∠BAC的角平分线一致． ∵λ（），∴λ（）， ∴的方向与∠BAC的角平分线一致 ∴一定通过△ABC的内心 故选：A． 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心）. 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 典例1．（2021春•龙岩期中）设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若，则O为△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【分析】运用向量的加减运算，以及向量数量积的性质，结合三角形的外心，可得所求． 【解答】解：若， 可得•（）•（）•（）＝0， 即为（）•（）＝（）•（）＝（）•（）＝0， 即有||2＝||2＝||2， 则||＝||＝||， 故O为△ABC的外心， 故选：B． 典例2．（2021秋•东安区校级期末）已知△ABC，点H，O为△ABC所在平面内的点，且，，，则点O为△ABC的（　　） A．内心 B．外心