第04讲 三角变换的应用（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学下学期考试满分全攻略（沪教版2020必修第二册）

第04讲 三角变换的应用(核心考点讲与练) 一.积化和差公式 二.和差化积公式 3、 三角函数的恒等变形中的作用： ① 并项与升次： ② 降次：， 四．三角函数式的化简 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角； ③ 三角公式的逆用等。 化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽 量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 五. 三角函数的求值类型有三类 （1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 六．三角等式的证明 （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 考点一：三角变换的应用 【例1】证明sin ＝± 【例2】已知，，求和的值. 【例3】（2020·上海市南洋模范中学高二月考）★★☆☆☆ 已知，，，均为锐角，则________. 【例4】（2020·上海市控江中学）★★☆☆☆ 已知，，则___________. 【例5】（2021·上海市建平中学高三三模）★★☆☆☆ 已知，若，则_________. 【例6】（2020·上海市嘉定区第一中学）★★☆☆☆ 在中，是方程的两根，则_______． 【例7】（2020·华师大二附中高三期中）★★☆☆☆ 方程在上的解为___________ 【例8】（2021·上海高一期末）★★☆☆☆ 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________. 【例9】（2021·上海市控江中学高一期中）★★★☆☆ 设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若点的纵坐标为，则点的坐标为________. 【例10】（2021·长宁·上海市延安中学）★★★☆☆ 使得成立的最小正数m的值为_________ 【例11】（2021·上海高一专题练习）★★★☆☆ 已知，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例12】（2021·位育中学）★★★☆☆ 关于x的方程有解，则实数m的取值范围是______． 【例13】（2020·上海市建平中学高一期中）★★★☆☆ 已知，，求下列式子的值： （1）； （2）； （3）． 【例14】（2021·上海高一课时练习）★★★☆☆ 若，，求的值. 【例15】（2021·上海市进才中学）★★★☆☆ 已知， （1）求的值； （2）求的值. 【例16】（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）★★★★☆ 在中，，若，，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1.若为第二象限角，当时，角为第______象限角 2.已知，且，则（ ） A. B. C. D. 3.若，则= （ ） A.3 B. C.–3 D.– 4.已知 为第二象限角，则=__________ 考点二：综合化简证明问题 【例1】化简 【例2】.化简：(1); (2). 【例3】化简， 【例4】.证明： 【例5】.证明： 【例6】.证明：(1)； (2)；(3). 【例7】已知且都是锐角，求证： 【例8】为何值时，函数的定义域为一切实数？ 【巩固训练】 1. 已知，化简2＋＝ 。　 2. 若270°<α<360°，则三角函数式的化简结果是( ) A． B． C． D． 3. 若，化简： 4. 化简： 5. 化简: ； 6. 求证： 7. 证明：(1)求证：； (2)求证：; 8.证明： 9. 证明：(1)求证： (2)在中，，求证： 10．（2018·上海交大附中高一开学考试）已知，，求证：. 11.（2016·长宁区·上海市延安中学高一期中）（1）证明三倍角的余弦公式：； （