第03讲 两角和与差的二倍角公式（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学下学期考试满分全攻略（沪教版2020必修第二册）

第03讲两角和与差与二倍角公式(核心考点讲与练) 一、两角和与差的余弦、正弦、正切 ；； 。 【方法技巧】公式联系记忆： 使用公式的时候注意把什么看成，什么看成，初学需要圈注一下． 利用和差配所求角难度比较大，需要耐心观察． 二.二倍角公式 ；； 。 三、辅助角公式 根据和差角公式，对于形式的表达式，我们可以做以下化简： ， 因为，即点在单位圆上， 故存在角，使得， 所以 即 ， 其中由确定．（通常取） 设进行化简同样可以. 四、万能公式 根据二倍角公式， ， 时，分子分母同除以得到：. 类似的，我们也可以将与用表示.即 这三个公式统称为万能公式.应用万能公式，可以把角的正弦、余弦、正切全部转化为半角的正切来表示，从而简化计算.在高等数学中是一个非常重要工具. 考点一：两角和与差的的余弦、正弦、正切 【例1】（新课程优选）★☆☆☆☆ 求值：（1）；（2）. 【例2】★☆☆☆☆ （1）（2021华师大二附中高一期末）已知、，，，则______. （2）（2021上海）中，如果，，则_________. （3）（2021建青实验学校高一期中）已知，则_________. 【例3】★★☆☆☆ （1）（2018·徐汇区·上海中学高三月考），，且、，则________. （2）（2021·上海市西南位育中学高一期中）已知，，则___________. 【巩固训练】 1.（2021·上海高一期末）★☆☆☆☆ 设都是锐角，且，则________． 2.（2019·上海市行知中学高一月考）已知. （1）求； （2）若，求； （3）求. 3.（2019·上海市青浦高级中学高一月考）在平面直角坐标系中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角再将OP的长度伸长为原来的倍,得到我们把这个过程称为对点P进行一次T,变换得到点例如对点P进行一次变换,得到点 (1)试求对点进行一次变换后得到点的坐标； (2)已知对点进行一次换后得到点求对点再进行一次变换后得到点的坐标. 考点二：逆用和差角公式化简求值 【例1】（2021·上海市长征中学）★☆☆☆☆ 化简：_______. 【例2】（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）★★☆☆☆ 若，则_________________． 【巩固训练】 1.（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆ 计算：________． 考点三：辅助角公式 【例1】（2021·上海高一课时练习）★☆☆☆☆ 把下列各式化成的形式. （1）； （2）； （3）； （4）. 【例2】（2021·上海市南洋模范中学高一期中）★★☆☆☆ 若，则__________. 【巩固训练】 1.（2021·上海高一专题练习）★★★☆☆ 求函数的值域． 考点三：用二倍角公式化简、求值 【例1】★☆☆☆☆ （1）（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知，则__________. （2）（2021·上海市西南位育中学高一期中）若，则___________. （3）（2021·上海杨浦区·复旦附中）已知角满足，则____________. 【例2】（2021·上海市南洋模范中学高一期中）★★☆☆☆ 已知，则__________. 【例3】（2021·上海静安区·高一期末）★★☆☆☆ 若为第三象限的角，则=____________. 【例4】（2021·上海高一期末）★★★☆☆ 在中，若，则的最小值是___________ 【巩固训练】 1.（2021·长宁区·上海市延安中学）★★☆☆☆ 已知，则_________ 2.（2021·上海高一期末）★★☆☆☆ 化简：的结果为__． 3.（2021·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）★★★☆☆ 已知，若，则角的取值范围是__________. 4.（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 5.（2020·上海高一课时练习）证明下列恒等式： （1）； （2）. 6.（2020·上海高一课时练习）已知，，求的值. 7.（2018·上海交大附中高一开学考试）已知，，求证：. 8.（2016·长宁区·上海市延安中学高一期中）（1）证明三倍角的余弦公式：； （2）利用等式，求的值. 考点四：证明三角恒等式 【例1】（2021·上海市七宝中学）★☆☆☆☆ 证明：； 【例2】（2021·上海高一课时练习）★★☆☆☆ 证明：. 【例3】（新课程优选）★★★☆☆ 证明：. 【巩固训练】 1.（新课程优选）★★★☆☆ 证明下列恒等式： （1）； （2）. 考点五：万能代换公式* 【例1】（新课程优选）★★★☆☆ 已知，试求的值. 【例2】（新课程优选）★★★☆☆ 求证: 分层提分 题组A 基础过关练 一、单选题 1．（2021·上海·高一课时练习）