专题5.1 探究平行线与角的位置和数量关系的热点题型-【满分计划】2021-2022学年七年级数学下册同步课时学优精练（人教版）

专题5.1 探究平行线与角的位置和数量关系的热点题型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 例1 完成下面的证明如图． 已知：AD∥EF，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC． 证明：∵AD∥EF （ 　 　）， ∴∠2＝　 　（ 　 　）， ∠1＝　 　（ 　 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠BAD＝∠CAD（ 　 　）． 即AD平分∠BAC． 【答案】已知；∠CAD，两直线平行，同位角相等；∠BAD，两直线平行，内错角相等；等量代换． 【解析】根据平行线的性质进行推理即可解答． 【详解】解：∵AD∥EF（已知）， ∴∠2＝∠CAD（两直线平行，同位角相等）， ∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠CAD＝∠BAD(等量代换）， 即AD平分∠BAC（角平分线的定义）． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、内错角相等，两直线平行、同位角相等成为解答本题的关键． 例2 完成下列证明过程，并在括号内填上依据． 如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD． 证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4 ∴∠2＝　 　（等量代换）， ∴　 　∥BF（ ）， ∴∠3＝∠　 　（ ）． 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠3＝∠B ∴AB∥CD（ ）． 【答案】∠4；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】根据平行线的判定和性质解答． 【详解】解∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等）， ∴∠2＝∠4（等量代换）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠3＝∠C （两直线平行，同位角相等）． 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠3＝∠B（等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答． 例3 综合与实践 阅读下面内容，并解答问题 已知：如图1，，．求证：． 老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ （1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是_____________________． （2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的、与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图①中、与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至的上方或的下方时，、与之间还存在其它数量关系，请直接写出、与之间的数量关系：____________（写出一种即可）． （3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示，垂直地面于，平行于地面，若，则度数为__________． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；（2）①，证明见解析；②或（写出一种即可）；（3）120° 【解析】（1）根据平行线的性质进行填空即可； （2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作、，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可； （3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． （2）① 证明：如下图，过D作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作 ∵∴ ∵∴ ∴ ∵ ∴； 当拖动点至的下方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或（写出一种即可）． （3） 过点B作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质及证明方法是解决本题的关键． 例4 已知直线，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，于点C． （1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，则和之间的数量关系是________； （2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B 交直线PQ于点D，为探究与的数量关系，小明过点B作，请根据他的思