专题检测(15) 最值、范围问题 (Word版)-2022高考数学(理科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(十五)　最值、范围问题 1．(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值． ＝9 解：(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，，准线方程为x＝－ 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为＝p＝2，－ 所以该抛物线的方程为y2＝4x. (2)设Q(x0，y0)，则＝(9－9x0，－9y0)，＝9 所以P(10x0－9，10y0)， 由P在抛物线上可得(10y0)2＝4(10x0－9)， 即x0＝＋9,10)， 所以直线OQ的斜率kOQ＝＋9)，＋9,10))＝＝ 当y0＝0时，kOQ＝0； 当y0≠0时，kOQ＝， 当y>0时，因为25y0＋时，等号成立；，即y0＝，当且仅当25y0＝＝30，此时0<kOQ≤≥2 当y0<0时，kOQ<0； 综上，直线OQ的斜率的最大值为. 2．(2021·陕西八校第二次联考)已知抛物线E：y＝x2的焦点为F，过y轴正半轴上一点M的直线l与抛物线E交于A，B两点，O为坐标原点，且＝2． · (1)求证：直线l过定点； (2)设点F关于直线OA的对称点为C，求四边形OCAB面积的最小值． (1)证明：由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为：y＝kx＋m(m＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－kx－m＝0， 则x1x2＝－m，y1y2＝x＝m2，x 因为＝x1x2＋y1y2＝2，· 所以m2－m－2＝0，解得m＝2， 所以直线l过定点M(0，2). (2)解：由(1)知x1x2＝－2，即x1＝， 如图所示，设点B(x2，y2)位于第一象限，则x2＞0， 四边形OCAB面积S＝S△ACO＋S△AFO＋S△AMF＋S△BMO， 由对称性知S△ACO＝S△AFO， S＝2××2x2×(－x1)＋×(－x1)＋× ＝－＋x2×x1＋x2＝－x1－ ＝＝3，＝2×＋x2≥2 当且仅当x2＝时等号成立，所以四边形OCAB面积的最小值为3.，即x2＝ 3．(2021·河南新乡二模)已知抛物线C1的顶点为坐标原点O，焦点为圆C2：x2＋y2＝4与圆C3：x2＋(y－3)2＝1的公共点． (1)求C1的方程； (2)直线l：y＝x＋3与C1交于A，B两点，点P在C1上，且P在AOB这一段曲线上运动(P异于端点A与B)，求△PAB面积的取值范围． 解：(1)联立得 因此C1的焦点为(0, 2)， 设抛物线C1：x2＝2py(p＞0)， 则＝2，则p＝4， 故C1的方程为x2＝8y. (2)联立或得 不妨假设A，B(－4，2)， 则|AB|＝.×|6－(－4)|＝ 设P(x0，y0)，则－4<x0<6， P到直线l的距离d＝，＋12)),\r(17))＝＝ 因为当－4<x<6时， 函数y＝(x－1)2－25的值域为[－25，0)， 所以0＜，≤ 则0＜S△PAB＝，＝×××d×|AB|≤ 故△PAB面积的取值范围是. 4．(2021·辽宁丹东一模)已知点A(0，－3)，B(0，3)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为－，记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)经过点D(0，1)的直线l与C相交于P，Q两点，求|AP|·|AQ|的最大值． 解：(1)设动点M(x, y)，由题设得＝1(x≠0)，曲线C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含上下顶点．＋，化简得C的方程为＝－· (2)方法1：设P(x1, y1)，由(1)可知AP，AQ不垂直于x轴时，可设AP：y＝k1x－3，代入＝1，＋ 得x1＝))).－3,1＋2k)，\f(6k)，即P－3,1＋2k)－3＝,1＋2k)，y1＝ 同理设Q(x2，y2)，AQ：y＝k2x－3，则x2＝)))－3,1＋2k)，\f(6k)，即Q－3,1＋2k)，y2＝ 因为P，Q，D共线，所以x1(y2－1)＝x2(y1－1)， 即)，－4,1＋2k)·)＝－4,1＋2k)· 因为k1≠k2，可得k1k2＝－1. |AP|＝).＋1),2＋k替换可得|AQ|＝)，把k1用－),1＋2k＋k＋(y1＋3)2)＝ 不妨设k1＞0， 则|AP|·|AQ|＝.＋2)＝＋5k＋1),2k 设t＝k1＋，由k1＞0，得t≥2，当且仅当k1＝1时取等号． 因为|AP|·|AQ|＝＞0，于是f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2，即k1＝1时，|AP|·|AQ|取得最大值，最大值为32.，f′(t)＝2－，设f(t)＝2t＋ 方法2：由(1)可知l不垂直于x轴时，可设l：y＝kx＋1，代入＝1得(1＋2k2)x2＋4kx－16＝0.＋ 由Δ＝16(9k2＋4)＞0恒成立，设P(x1，y1)，Q(x