专题检测(14) 直线与圆锥曲线的位置关系与简单的证明问题 (Word版)-2022高考数学(理科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(十四)　直线与圆锥曲线的位置关系与简单的证明问题 1．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：，A，B分别为C的左、右顶点． ＝1(0＜m＜5)的离心率为＋ (1)求C的方程； (2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积． 解：(1)由题设可得＝1.＋，所以C的方程为，得m2＝＝ (2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ＞0，由题意知yP＞0. 由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y＝－).)，|BQ|＝(x－5)，所以|BP|＝yP 因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3. 由直线BP的方程得yQ＝2或8， 所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8). 所以|P1Q1|＝，x，点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为，直线P1Q1的方程为y＝ 故△AP1Q1的面积为.＝×× |P2Q2|＝，，点A到直线P2Q2的距离为x＋，直线P2Q2的方程为y＝ 故△AP2Q2的面积为.＝×× 综上，△APQ的面积为. 2．(2021·河北石家庄质检(一))已知坐标原点为O，双曲线C：. ，离心率为＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离为－ (1)求双曲线的方程； (2)设过双曲线上动点P(x0，y0)的直线x0x－＝1分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，求△AOB的外心M的轨迹方程． 解：(1)由已知可得：e＝，＝b＝且＝＝＝ 即a2＝1，b2＝2，所以双曲线的方程为x2－＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且由已知得xx，,2)＝1，渐近线方程为y＝±－ 联立，解得x1＝ 所以y1＝x1； 联立，解得x2＝ 所以y2＝－x2. 法一：设△AOB的外心M(x，y)，则由|MA|＝|MO|＝|MB|得(x－x1)2＋，＝x2＋y2＝(x－x2)2＋ 即xx1＋x1，①y＝⇒x＋xyx1＝ 同理xx2－x2，②y＝⇒x－xyx2＝ ①②两式相乘得x2－2y2＝x1x2， 又∵x1x2＝,2))＝1， －\f(y＝· 所以△AOB的外心M的轨迹方程为x2－2y2＝. 法二：设△AOB的外心M(x，y)， 线段OA的中垂线方程为y－， ＝－ 线段OB的中垂线方程为y－，＝ 联立解得 ∵x1＋x2＝,2))＝2x0， －\f(y＝＋ x1－x2＝y0，,2))＝－\f(y＝－ 即⇒ 代入xy2＝1，x2－,2)＝1得－ 所以△AOB的外心M的轨迹方程为x2－2y2＝. 3．(2021·贵州凯里模拟)已知双曲线C：. ＝，PM⊥l，点M在直线l上，且满足＝1(a＞0，b＞0)上一动点P，左、右焦点分别为F1, F2，且F2(2，0)，定直线l：x＝－ (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线l0的斜率k＝1，且l0过双曲线右焦点与双曲线右支交于A, B两点，求△ABF1的外接圆方程． 解：(1)由题意，知，＝ 设点P(x，y)，则，＝ ∴(x－2)2＋y2＝，x2－4x＋3，整理得1＋y2＝，得x2－4x＋4＋y2＝ 即双曲线的标准方程为－y2＝1． (2)由题意，知直线l0：y＝x－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程，得 ，而y1＋y2＝x1＋x2－4，整理得2x2－12x＋15＝0，故x1＋x2＝6，x1x2＝ ∴AB中点为M(3, 1)，而△ABF1外接圆圆心在AB的垂直平分线l1上，则l1：y＝－x＋4， 又由焦点弦长公式，可知|AB|＝．＝2·|x1－x2|＝ 设圆心(x0, y0) 满足，)) 解得 ∴半径R＝.＝＋，故外接圆方程为＝ 4．(2021·湖北襄阳五中二调)已知抛物线C1：y2＝x，圆C2：(x－4)2＋y2＝1. (1)求圆心C2到抛物线C1准线的距离； (2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若直线PC2的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，k1·k2＝－，求点P的坐标． 解：(1)由已知：C2(4, 0)；C1的准线为x＝－.＝，圆心C2到C1准线距离为4－ (2)设P(y＝m1(y－y0)，，y2)，切线PA：x－y，y1)，B(y，y0)，A(y 由＋m1y0＝0，－m1y0，,y2＝x))得y2－m1y－y 由y0＋y1＝m1得y1＝m1－y0， 切线PB：x－y＝m2(y－y0)，同理可得y2＝m2－y0. 依题意：C2(4，0)到PA：x－m1y－y＋1))＝1，＋m1y0|,\r(m＋m1y0＝0的距离为 整理得(y＋15＝0，－8y)m2＋y＋(8y0－2y－1)m＋15＝0，同理(y－8y)m1＋y＋(8y0－2y－1)m ∴m1＋m2＝≠1