专题检测(11) 不等式选讲 (Word版)-2022高考数学(理科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(十一)　不等式选讲 1．(2021·安徽淮北二模)设函数f(x)＝|2x－a|＋(a>0). (1)证明：f(x)≥2； (2)若f(1)<4，求实数a的取值范围． (1)证明：f(x)＝|2x－a|＋ ＝ ∴f(x)在(－∞，，＋∞)单调递增；]单调递减，在( ∴fmin(x)＝f(且a＝2时取得最小值．∴f(x)≥2.≥2，当且仅当x＝＋)＝ (2)解：∵f(1)＝|2－a|＋＜4，(a＞0) ∴|2－a|＜3－.①＞0，∴a＞，∴3－ 当a≤2时，有2－a＜3－，∴a＜－2或a＞1.结合①得1＜a≤2. 当a＞2时，有a－2＜3－.，∴2＜a＜ 综上：实数a的取值范围为(1，). 2．(2021·河南新乡二模)已知函数f(x)＝|2x－2|＋|x＋1|. (1)求不等式f(x)≤5的解集； (2)记f(x)的最小值为M，若关于x的不等式|x－m|＋|x－2|≤M有解，求m的取值范围． 解：(1)当x＜－1时，由f(x)＝2－2x－x－1＝1－3x≤5，得－≤x＜－1； 当－1≤x≤1时，由f(x)＝2－2x＋x＋1＝3－x≤5， 得－1≤x≤1； 当x＞1时，由f(x)＝2x－2＋x＋1＝3x－1≤5， 得1＜x≤2. 综上所述，不等式f(x)≤5的解集为. (2)由(1)可知M＝f(x)min＝f(1)＝2， |x－m|＋|x－2|≥|(x－m)－(x－2)|＝|m－2|， 当(x－m)(x－2)≤0时，等号成立． 因为关于x的不等式|x－m|＋|x－2|≤2有解， 所以|m－2|≤2，即－2≤m－2≤2，解得0≤m≤4， 所以m的取值范围是[0，4]. 3．(2021·四川攀枝花二模)已知函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－1|. (1)解不等式f(x)≤2x＋2； (2)设函数f(x)的最小值为t，若a＞0，b＞0，且a＋b＝t，证明：≥1. ＋ (1)解：不等式等价于 或或 解得x∈∅或≤x＜1或1≤x≤3. 所以不等式f(x)≤2x＋2的解集为{x|≤x≤3}． (2)证明：由f(x)＝知， 当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝2，即a＋b＝2． 法一：＝＋ ＝＝1，≥＝＝ 当且仅当a＝b＝1时，不等式取得等号，所以≥1．＋ 法二：由柯西不等式可得： (a＋b)2＝1.)≥＋(＝＋ 当且仅当a＝b＝1时，不等式取得等号，所以≥1.＋ 4．(2021·陕西宝鸡二模)设函数f(x)＝|1－2x|－3|x＋1|，f(x)的最大值为M，正数a，b满足＝Mab. ＋ (1)求M； (2)是否存在a，b，使得a6＋b6＝？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)分三类讨论如下： ①当x＜－1时，f(x)＝x＋4，单调递增，f(x)＜3； ②当－1≤x≤时，f(x)＝－5x－2，单调递减，f(x)max＝f(－1)＝3， ③当x＞，)＝－时，f(x)＝－x－4，单调递减，f(x)＜f( 综合以上讨论得，f(x)的最大值M＝3. (2)假设存在正数a，b，使得a6＋b6＝＝2a3b3，≥2 所以a，①≤·b 又因为，②≥·b，所以a＝Mab＝3ab≥2·＋ 显然①②相互矛盾， 所以假设不成立，即不存在a，b使得a6＋b6＝. 5．(2021·广西南宁二模)已知f(x)＝|x－a|＋|x＋b|(a＞0，b＞0). (1)当a＝2，b＝1时，解不等式f(x)≥9； (2)若f(x)的最小值为2，求的最小值． ＋ 解：(1)当a＝2，b＝1时，f(x)＝|x－2|＋|x＋1|≥9， 所以或或 解得x≤－4或x≥5， 故解集为(－∞，－4]∪[5，＋∞). (2)由a＞0，b＞0，所以f(x)＝|x－a|＋|x＋b|≥|x＋b－x＋a|＝|a＋b|＝a＋b， 若f(x)的最小值为2，则a＋b＝2，所以(a＋1)＋b＝3， )[(a＋1)＋b]＋(＝＋ ＝)＋＋( ≥，＋)＝＋()＝＋2( 所以.＋的最小值为＋ 6．(2021·安徽皖南八校联考)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2ax＋1|. (1)若a＝1，解不等式f(x)＞3－x； (2)当x∈[－1，1]时，f(x)≤|x＋3|恒成立，求a的取值范围． 解：(1)若a＝1，则f(x)＝|x＋1|＋|2x＋1| ＝ 当x∈(－∞，－1)时，由f(x)＞3－x，即－2－3x＞3－x，得x∈(－∞，－)； 当x∈时，由f(x)＞3－x，即－x＞3－x，得x∈∅； 当x∈(－，＋∞)；，＋∞)时，由f(x)＞3－x，即3x＋2＞3－x，得x∈( 综上：不等式f(x)＞3－x的解集为(－∞，－，＋∞)．)∪( (2)当x∈[－1，1]时，f(x)≤|x＋3|，等价于|2ax＋1|≤2，只需.解得x∈ 7．(2021·江西三校联考)已知函数f(x)＝|x－2|－