专题检测(9) 空间几何体 (Word版)-2022高考数学(理科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(九)　空间几何体 1．(2021·辽宁大连二模)如图，斜三棱柱ABC­A1B1C1体积为24，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝4. (1)证明：AB1⊥CC1； (2)求二面角B1­AC­C1的余弦值． (1)证明：取CC1的中点O，连接AO，AC1，B1C，B1O， 由菱形的性质及∠ACC1＝∠CC1B1＝60°知， △ACC1，△B1CC1为正三角形，∴AO⊥CC1，B1O⊥CC1， ∵AO∩B1O＝O，AO，B1O⊂平面AOB1，∴CC1⊥平面AOB1， 又∵AB1⊂平面AOB1，∴AB1⊥CC1. (2)解：三棱锥A­A1B1C1的体积是三棱柱ABC­A1B1C1体积的三分之一， ∴四棱锥A­BCC1B1的体积是柱体体积的三分之二，即等于16.平行四边形BCC1B1的面积为S▱BCC1B1＝4×4×sin 60°＝8. 设四棱锥A­BCC1B1的高为h，则×h＝16，×8 ∴h＝2＝h，∴AO⊥平面BCC1B1，，又AO＝2 以O为坐标原点，OB1，OC1，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz. 则A(0，0，2)，＝(0，2，2，2，0)，1＝(2，0，0)，C(0，－2，0)，)，B1(2 设平面CAB1的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则 令y＝，－1).，则x＝－1，z＝－1，∴n1＝(－1， 平面C1CA的一个法向量为n2＝(－1，0，0)， 则cos〈n1，n2〉＝.＝ ∴二面角B1­AC­C1的余弦值为. 2．(2021·江苏苏锡常镇调研)如图，在圆锥PO中，点A，B，C，M在底面圆O上，AM为圆O的直径，BC＝PM＝3，∠PAB＝∠PAC，E，F分别是PB，PC上靠近B，C的三等分点，平面AEF交PM于点T. (1)证明：BC⊥平面PAO； (2)当∠PAB＝时，求直线PT与平面AEF所成角的正弦值． (1)证明：在圆锥PO中，PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC， ∵∠PAB＝∠PAC，PA＝PA，PC＝PB，∴△PAB≌△PAC，∴AB＝AC，则有∠MAC＝∠MAB，又AM为圆O的直径，∴AM⊥BC，又AM∩PO＝O，∴BC⊥平面APO. (2)解：由∠PAB＝得△PAB，△PAC都为正三角形，则AB＝AC＝BC＝3， 如图，以O为原点，垂直于AM所在的直线为x轴，OM所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，－，0)，，0)，M(0，，，0)，C(－，)，B(，0)，P(0, 0， ∴)，，－，＝(－)，，－，＝( ∴)，，－＝(1，＝ )，，－＝(－1，＝ ∴E(1，)，，)，F(－1，， ∴)，，＝(1，＝(－2，0，0)， 设平面AEF的一个法向量为n＝(x, y, z)， 则即 令z＝4，得n＝(0，－)，，－＝(0，，4)，又 若PT与平面AEF所成角为θ，则PM与平面AEF所成角也为θ， ∴sin θ＝.＝＝ 3．(2021·湖南长沙一中月考)如图1，在△ABV中，AC＝BC＝CV＝1，AC⊥VB于C.现将△ABV沿AC折叠，使V­AC­B为直二面角(如图2)，D是棱AB的中点，连接CD，VB，VD. (1)证明：平面VAB⊥平面VCD； (2)若棱AB上有一点E满足BE＝BA，求二面角C­VE­A的余弦值． (1)证明：在题图2中，∵AC＝BC，D是AB的中点， ∴CD⊥AB， 又V­AC­B为直二面角，VC⊥AC，平面VAC∩平面ABC＝AC，VC⊂平面VAC，∴VC⊥平面ABC， 而AB⊂平面ABC，∴VC⊥AB，又VC∩CD＝C， VC，CD⊂平面VCD，∴AB⊥平面VCD. 又AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD. (2)解：以C为坐标原点，以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，V(0, 0, 1)， ∴＝(1，－1，0)，＝(0, 0, 1)， ∵BE＝，0).，＝(，0)，则，BA，∴E＝( 设平面VCE的一个法向量t＝(m, n, p)， 则即 令n＝1，则t＝(－3, 1, 0). 同理可以求得平面VAB的一个法向量s＝(1, 1, 1)， ∴cos〈s, t〉＝，＝＝ 又二面角C­VE­A为锐角，∴二面角C­VE­A的余弦值为. 4．(2021·山西太原二模)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，CE＝DE，EF∥DB，DB＝2EF，平面CDE⊥平面ABCD. (1)求证：平面BCF⊥平面ABCD； (2)若平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为，求直线BE