专题检测(5) 数列 (Word版)-2022高考数学(理科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(五)　数　列 1．(2021·江西九江5月适应性考试)已知数列{an}中，a1＝3，且满足an＋1＝an＋2n＋2，bn＝an－n2(n∈N*). (1)证明：数列{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式； (2)已知数列，求n的值． 的前n项和Sn＝ (1)证明：因为an＋1＝an＋2n＋2， 所以an＋1－(n＋1)2＝an－n2＋1， 故bn＋1－bn＝1， 所以数列{bn}是等差数列，且公差为1， 而b1＝a1－1＝2， 故bn＝2＋(n－1)＝n＋1. (2)解：，－＝＝ 故Sn＝，故n＝10.＝＝－＝－＋…＋－＋－ 2．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和． 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3， 即2a1＝a1q＋a1q2. 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记Sn为{nan}的前n项和． 由(1)及题设可得an＝(－2)n－1， 所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n. 所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n. 所以Sn＝.－ 3．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1. 由已知得所以{an}的通项公式为an＝3n－1.解得 (2)由(1)知log3an＝n－1，所以{log3an}是首项为0，公差为1的等差数列，故Sn＝. 由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得 m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0. 解得m＝－1(舍去)，m＝6.所以m＝6. 4．(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列：②数列{}是等差数列； ③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解：选①②作条件证明③：设＝an＋b(a＞0)，则Sn＝(an＋b)2， 当n＝1时，a1＝S1＝(a＋b)2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋b)2－(an－a＋b)2＝a(2an－a＋2b)； 因为{an}是等差数列，所以(a＋b)2＝a(2a－a＋2b)，解得b＝0； 所以an＝a2(2n－1)，所以a2＝3a1. 选①③作条件证明②：因为a2＝3a1，{an}是等差数列，所以公差d＝a2－a1＝2a1， 所以Sn＝na1＋，＝nd＝n2a1，即 因为，＝－n＝(n＋1)－ 所以{}是等差数列． 选②③作条件证明①：设＝an＋b(a＞0)， 则Sn＝(an＋b)2， 当n＝1时，a1＝S1＝(a＋b)2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋b)2－(an－a＋b)2＝a(2an－a＋2b). 因为a2＝3a1，所以a(3a＋2b)＝3(a＋b)2， 解得b＝0或b＝－； 当b＝0时，a1＝a2，an＝a2(2n－1)，当n≥2时，an－an－1＝2a2满足等差数列的定义，此时{an}为等差数列； 当b＝－＜0不合题意，舍去．＝－a，＝an＋b＝an－时， 综上可知{an}为等差数列． 5．(2021·新高考全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式． (2)求{an}的前20项和． 解：(1)由题意，得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 易得a2n＋2＝a2n＋1＋1，a2n＋1＝a2n＋2， 所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3， 所以{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，故bn＝2＋3(n－1)＝3n－1. (2)由(1)可得a2n＝3n－1，a2n－1＝a2n－2＋2＝bn－1＋2＝3n－2. 所以a19＝3×10－2＝28，a20＝3×10－1＝29. 所以{an}的前20项的和为(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝×10＝300.×10＋ 6．(2021·辽宁锦州二模)已知等差数列{an}满足a5＝12，a10－a7＝6.等比数列{bn}各项均为正数且满足：b1＝a1，b4＝a15. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Sn