专题检测(3) 解三角形 (Word版)-2022高考数学(理科)二轮复习【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

专题检测(三)　解三角形 1．(2021·安徽淮北二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝b cos C－c cos B. (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)若|，且AB＝2，求△ABC的面积． |＝2＋ (1)证明：由a＝b cos C－c cos B及余弦定理得a＝b，＝－c 即a2＋c2＝b2，所以B＝，故△ABC是直角三角形． (2)解：取AB的中点D，由|，此时BD＝1.|＝知：||＝2＋ 所以BC＝.，于是△ABC的面积为 2．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(. ＋A)＋cosA＝ (1)求A; (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形． (1)解：由已知得sin2A＋cosA＝， 即cos2A－cosA＋＝0. 所以(cos A－.)2＝0，cos A＝ 由于0<A<π，故A＝. (2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A. 由(1)知B＋C＝， 所以sin B－sin (.sin －B)＝ 即.)＝，sin (B－cos B＝sin B－ 由于0<B<.从而△ABC是直角三角形．，故B＝＝，B－ 3．(2021·河北张家口二模)在△ABC中，cos B(a－b sin C)＝b sin B cos C． (1)求B； (2)若c＝2a，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 解：(1)由cos B(a－b sin C)＝b sin B cos C， 得a cos B－b cos B sin C＝b sin B cos C， ∴a cos B＝b sin B cos C＋b cos B sin C， 即a cos B＝b sin (B＋C)， ∴a cos B＝b sin A. 由正弦定理，得sin A cos B＝sin B sin A， 又sin A≠0，∴cos B＝sin B， 即tan B＝.，0＜B＜π，∴B＝ (2)由c＝2a，△ABC的面积为， 得S△ABC＝，＝×a×2a×ac sin B＝ 解得a＝.，即c＝2a＝ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 可得b2＝＝4，解得b＝2.××－2×＋ ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝.＝2＋2＋2＋ 4．(2021·山东淄博二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos (A－C)＋cos B＝，设m＝(b，c)，n＝(a, b)且m∥n. (1)求角B的大小； (2)延长BC至D，使BD＝5，若△ACD的面积S＝，求AD的长． 解：(1)由cos (A－C)＋cos B＝， 可知cos (A－C)－cos (A＋C)＝， 即cos A cos C＋sin A sin C－cos A cos C＋sin A sin C＝.，可得sin A sin C＝ 由m∥n可得b2－ac＝0， 由正弦定理可知sin2B＝sin A sin C＝， 因为B∈(0，π)，所以sin B＝.或，因此B＝ 分别代入cos (A－C)＋cos B＝时，可知，当B＝ cos (A－C)＝2，不成立．因此B＝. (2)由B＝可知cos (A－C)＝1，即A＝C， 因此△ABC为等边三角形，即a＝b＝c， S△ACD＝b(5－a)sin AC·CD sin ∠ACD＝ ＝，a(5－a)＝ 整理可得a(5－a)＝4，即a2－5a＝－4， 由余弦定理可知，在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ＝c2＋25－5c＝a2＋25－5a＝21， 因此AD的长为. 5．(2021·广东惠州二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足3＝0. ·与＝ (1)若b＝c，求A的值； (2)求B的最大值． 解：(1)因为b2＝0，bc cos A＋＝0，所以)·＋，故可化简为(－＝＝0，又)·＋，所以(＋＝＝0，· 因为b＝c，所以cos A＝－， 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)因为c时等号成立．，即a＝＝，当且仅当≥＋＝＝b2＝0，所以b2＋c2－a2＋b2＝0，即2b2＋c2－a2＝0，cos B＝bc cos A＋＝)·＋＝(· 因为0＜B＜π，所以B的最大值为． 6．(2021·吉林松原实验中学二模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，△ABC为锐角三角形，且AB＝3，AC＝，∠ABC＝60°. (1)求sin ∠BAC的值； (2)求△BCD的面积． 解：(1)在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝，∠ABC＝60°， 由正弦定理得sin ∠ACB＝，＝ 又因为△ABC为锐角三角形，∴cos ∠ACB＝. ∵sin ∠BAC＝sin ＝sin (60°＋∠ACB)， ∴sin