第二章 专题5 勾股定理与全等构造-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ 157 ∴82+x2=62+(14-x)2.解得x=6. ∴供水站E 应建在距A 点6 km处. (2)DE⊥CE.理由如下: 由(1),知EA=6. ∵CB=6,∴EA=CB. 在Rt△DAE 和Rt△EBC 中, DE=EC, EA=CB, ∴Rt△DAE≌Rt△EBC(HL).∴∠D=∠BEC. ∵∠D+∠AED=90°,∴∠BEC+∠AED=90°. ∴∠DEC=90°,即DE⊥CE. 4.解:设AD=x,则BD=16-x. ∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠CDB=90°. ∴在Rt△ACD 中,根据勾股定理,AC2-AD2=CD2,即 142-x2=CD2. 在Rt△CDB 中,根据勾股定理,BC2-BD2=CD2, 即62-(16-x)2=CD2. ∴142-x2=62-(16-x)2.解得x=13. ∴AD=13,BD=16-13=3. ∴CD= BC2-BD2= 36-9=33. ∴S△ABC= 1 2AB ·CD= 1 2×16×33=243. 5.解:设BC=x. ∵∠ACB=90°, ∴在 Rt△ADC 中,根 据 勾 股 定 理,AD2-CD2= AC2,即15.62-(6.4+x)2=AC2. 在Rt△ABC 中,根据勾股定理,AB2-BC2=AC2,即 102-x2=AC2. ∴15.62-(6.4+x)2=102-x2.解得x=8. ∴AC= AB2-BC2= 100-64=6(m). ∴看台的高度AC 为6 m. 专题5 勾股定理与全等构造 2.5.1 遇45°,135°作等腰直角三角形构造全等 金题试做 解:如图,过点C 作CD⊥CP,且CD=CP,连接PD,BD. ∴∠DCP=90°,∠CDP=∠CPD=45°. ∵∠CPB=135°,∴∠DPB=∠CPB-∠CPD=90°. ∵∠ACB=∠PCD=90°,∴∠ACB-∠PCB= ∠PCD-∠PCB,即∠ACP=∠BCD. 又AC=BC,∴△ACP≌△BCD(SAS). ∴AP=BD. 在Rt△DCP 中,∵∠PCD=90°,CP=CD=2, ∴根据勾股定理,得PD= CP2+CD2= 4+4=22. 在Rt△DPB 中,根据勾股定理,得 BD= PD2+PB2= 8+1=3. ∴AP=BD=3. (例题图) 对点集训 1.解:如图,过点C 作CD⊥AB 于点D. ∵∠A=45°,∴△ACD 为等腰直角三角形,AD=CD. ∴AD2+CD2=AC2,即2CD2=(36)2. ∴CD=33(负值不合题意,舍去). ∵∠B=60°,∠BDC=90°,∴∠BCD=30°. ∴BC=2BD. 设BD=x,则BC=2x. 在Rt△BCD 中,根据勾股定理,BD2+CD2=BC2. ∴x2+(33)2=(2x)2. 解得x=3(负值不合题意,舍去). ∴BC=6. (1题图) 八年级 下册 RJ158 2.解:如图,过点 A 作AD⊥AP,且 AD=AP,连接 PD,BD. ∴∠DAP=90°,∠ADP=∠APD=45°. 在Rt△ADP 中,根据勾股定理,得 PD= PA2+AD2= 16+16=42. ∵∠APB=45°,∴∠DPB=∠APD+∠APB=90°. ∵∠DAP=∠BAC=90°,∴∠DAP+∠PAB= ∠BAC+∠PAB,即∠DAB=∠PAC. 又AD=AP,AB=AC,∴△DAB≌△PAC(SAS). ∴DB=PC. 在Rt△DPB 中,根据勾股定理,得 DB= PD2+PB2= (42)2+32= 41. ∴PC=DB= 41. (2题图) 2.5.2 遇60°,120°作等边三角形构造全等 对点集训 1.解:如图,过点 A 作∠PAD=60°,AD=AP,连接 PD,BD. ∴△APD 是等边三角形. ∴AD=PD=AP=2,∠APD=60°. ∵∠APB=120°, ∴∠BPD=∠APB-∠APD=120°-60°=60°. 过点D 作DE⊥BP,垂足为E. ∴∠DEP=∠DEB=90°. 在Rt△DEP 中,∵∠DPE=60°, ∴PE= 1 2PD= 1 2×2=1. ∴DE= PD2-PE2= 4-1= 3. ∵PB=4,∴BE=PB-PE=4-1=3. 在Rt△DEB 中,根据勾股定理,得 DB= DE2+BE2= 3+9=23. ∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC. ∵∠DAP=∠BAC=60°,∴∠DAP-∠BAP= ∠BAC-∠BAP,即∠DAB=∠PAC. 又AD=AP,AB=AC,∴△ADB≌△APC(SAS). ∴DB=PC. ∴PC=23. (1题图) 2.证明:如图,过点D 作∠BDE=60°,ED=BD,连接 EA,EB. ∴△EDB 是等边三角形.