第二章 专题9 勾股定理综合探究-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ166 专题9 勾股定理综合探究 2.9.1 几何综合 金题试做 解:(1)60°;3 (2)∵∠CAB=60°,AB=AC, ∴△ABC 是等边三角形. ∴∠CAB=∠B=∠ACB=60°,AB=AC=BC. 如图,将 △ABD 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 60°得 到 △ACF,连接EF. ∴AF=AD,CF=BD=2,∠ACF=∠B=60°, ∠CAF=∠BAD. ∵∠CAB=60°,∠DAE=30°, ∴∠CAE+∠BAD=30°. ∴∠FAE=∠CAE+∠CAF=∠CAE+∠BAD= 30°=∠DAE. 在△EAF 和△EAD 中, AF=AD, ∠FAE=∠DAE, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△EAF≌△EAD(SAS).∴FE=DE. 过点F 作FG⊥BC 交BC 的延长线于点G. ∵∠ECF=∠ACE+∠ACF=60°+60°=120°, ∴∠FCG=60°. ∴∠CFG=30°. ∴CG= 1 2FC=1. ∴EG=EC+CG= 3 2+1= 5 2. 在Rt△FCG 中,根据勾股定理,得 FG= CF2-CG2= 22-12= 3. 在Rt△FEG 中,根据勾股定理,得 FE= EG2+FG2= 52 2 +(3)2= 37 2 . ∴DE= 37 2 . (例题图) (3)当DE 取最小值时,CF 的长为 2 3. 对点集训 1.解:(1)△CDF (2)△ABC 是直角三角形.理由如下: 如图,延 长 FD 到 点 H,使 DH =DF,连 接 BH, EH. ∵D 为BC 的中点,∴BD=CD. ∵DH=DF,∠BDH=∠CDF, ∴△BDH≌△CDF(SAS). ∴BH=CF,∠DBH=∠C. ∵ED⊥DF,DH=DF,∴EH=EF. ∵CF2+BE2=EF2,∴BH2+BE2=EH2. ∴∠EBH=90°.∴∠ABC+∠DBH=90°. ∴∠ABC+∠C=90°.∴∠BAC=90°. ∴△ABC 是直角三角形. (1题图) 2.解:(1)证明:∵BH=BF,∴∠BHG=∠BFG. ∵CK∥AF,∴∠BHG=∠K,∠BFG=∠BCK. ∴∠K=∠BCK.∴BK=BC. ∴BK-BH=BC-BF,即 HK=FC. (2)如图,过点E 作EM⊥BC 于点M. ∵AB=BC,BD 为AC 边上的中线, ∴BD⊥AC,CD= 1 2AC=3. 八年级 下册 RJ 167 ∴BD= BC2-CD2= 52-32=4. ∵BE 平分∠CBD,BD⊥DC,EM⊥BC,∴DE=ME. 在Rt△BDE 和Rt△BME 中, BE=BE, DE=ME, ∴Rt△BDE≌Rt△BME(HL). ∴BD=BM=4.∴MC=BC-BM=1. 设DE=x,则EC=DC-DE=3-x,ME=x. ∴EC2=ME2+MC2,即(3-x)2=x2+1. 解得x= 4 3.∴DE= 4 3. (2题图) 3.解:(1)∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=AD=BC=CD,∠D=∠ABC=90°. ∴∠D=∠ABG=90°. 又BG=DF,∴△ABG≌△ADF(SAS). ∴AG=AF,∠BAG=∠DAF. ∵∠BAD=90°,∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAG=∠EAG=45°. ∴∠EAG=∠EAF=45°. 又AE=AE,∴△AEG≌△AEF(SAS). ∴EG=EF. ∴EF=EG=BE+BG=3+2=5. (2)证明:如图,在DF 上截取DM=BE,连接AM. ∵AB=AD,∠ABE=∠ADM=90°,DM=BE, ∴△ABE≌△ADM(SAS). ∴AE=AM,∠EAB=∠DAM. ∵∠EAF=45°,∠EAB=∠DAM, ∴∠BAF+∠DAM=45°.∴∠MAF=45°. ∴∠EAF=∠MAF. 又AE=AM,AF=AF,∴△AEF≌△AMF(SAS). ∴EF=MF. ∵MF=DF-DM,∴EF=DF-BE. (3题图) (3)BE 的长为5. 2.9.2 代几综合 金题试做 解:(1)由翻折可知,AE=AO=10,DO=DE,∠AED= ∠AOD=90°. 在Rt△ABE 中,∵AE=10,AB=OC=8, ∴BE= AE2-AB2= 102-82=6. ∴CE=4.∴E(4,8). 在Rt△DCE 中,根据勾股定理,DC2+CE2=DE2. ∴(8-OD)2+42=OD2.解得OD=5. ∴D(0,5). (2)由(1),知OD=5,CE=4. ∴DC=OC-OD=8-5=3. ∴S△CDE= 1 2DC ·CE= 1 2×3×4=6. 对点集训 1.解:(1)∵(n-3)2+ 3m-12=0, ∴n-3=0,3m-12=0.解