专题14 圆与相似三角函数综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题14圆与相似三角函数综合问题 【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求阴影部分的面积； （3）连结，在（2）的条件下，求的长． 【例2】（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【例3】（2021·四川绵阳·中考真题）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，． （1）求证：； （2）设，求的面积（用的式子表示）； （3）若，求的长． 【例4】（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点． （1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值． 【例5】（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长． 【例6】（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点D，于点E，直线于点F，交的延长线于点H． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的值． 【题组一】 1．（2021·广东·深圳市龙园外语实验学校三模）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，，AD与BC相交于点E，AF与⊙O相切于点A，与BC延长线相交于点F． (1)求证：AE＝AF． (2)若EF＝12，sin∠ABF＝，求⊙O的半径． 2．（2021·广东韶关·一模）如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M． (1)求证：直线BD是⊙O的切线； (2)求⊙O的半径OD的长； (3)求线段BM的长． 3．（2021·广东花都·二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径． (1)尺规作图：作∠ABD＝∠ABC，与⊙O交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接CD交AB于点E，已知BD＝35，BE＝7AE，求⊙O的半径长． 4．（2021·广东深圳·三模）如图，⊙O的内接四边形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延长线相交于点C，DF是⊙O的切线． (1)求证：FD＝FC； (2)若EF＝3，DE＝4，求AB的长． 【题组二】 5．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F． (1)求证：AC为⊙O切线． (2)若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长． 6．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6，求MC•MN的值． 7．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知四边形内接于，． （1）如图1，求证：点到两边的距离相等； （2）如图2，已知与相交于点，为的直径． ①求证：； ②若，，求的长． 8．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）在中，，以为直径的交于点． （1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求； （2）如图②，过点作的切线交于点，求证：； （3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 【题组三】 9．（2021·广东·西南中学三模）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P．连结DP并延长交AB于点E． 求证：（1）DP＝AB； （2）DE为半圆O的切线； （3）连结OE，求tan∠BOE的值． 10．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF． （1）求证：AF平分∠BAC； （2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 11．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）已知是圆直径，点为圆上一点，于，过作切线，交延长