7.2.1 三角函数的定义-2021-2022学年新教材高中数学必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．(重点) 2．会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号．(难点) 1．通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养． 2．借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养. 如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒． 问题　(1)若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ (2)如图所示建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？ 提示　(1)30秒时h＝h0＋R·sin 30°＝h0＋R； 45秒时h＝h0＋Rsin 45°，t秒时h＝h0＋Rsin t°. (2)能，sin α＝yP，cos α＝xP，tan α＝，改变终边上点的位置，比值不会改. 1．任意角的三角函数 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝ ＞0)． 三角函数 定义 名称 sin α 正弦 cos α 余弦 tan α 正切 [拓展]　(1)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，如sin α表示的是一个比值而不是sin与α的积． (2)因为角的集合与实数集之间可以建立 一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数． 2．三角函数在各象限的符号 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 思考：记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有什么诀窍吗？ [提示]　对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若sin α＝sin β，则α＝β. (　　) (2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大． (　　) (3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0. (　　) [提示]　(1)×.由三角函数的定义知sin 0°＝sin 360°＝0，此时0°≠360°. (2)×.由任意角的正弦函数的定义知， sin α＝.但y变化时，sin α是定值． (3)×.终边落在y轴上的角的正切函数值不存在． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．已知角α终边经过P，则cos α等于(　　) A．　　　　 B． C．　 D．± B　[由三角函数定义可知，设x＝.]＝1，故cos α＝，则r＝，y＝ 3．已知sin α>0，cos α<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[由sin α>0可知α在第一、二象限或y轴的正半轴上，由cos α<0可知α在第二、三象限或x轴的负半轴上，故角α是第二象限角．] 4．若角α的终边上有一点P(3，－4)，则sin α＋cos α＝________. －，，cos α＝＝5由三角函数定义知，sin α＝－　[易知r＝ 所以sin α＋cos α＝－.] 任意角三角函数的定义及应用 【例1】　(1)若sin α＝，则在角α终边上的点有(　　) ，cos α＝－ A．(－4,3)　　　　　　 B．(3，－4) C．(4，－3) D．(－3,4) (2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． (1)A　[(1)由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A．] (2)[解]　直线. ，tna α＝－，cos α＝＝2，所以sin α＝－)，则r＝；在第四象限取直线上的点(1，－，tan α＝－，cos α＝－＝2，所以sin α＝)，则r＝x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，x＋y＝0，即y＝－ 已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种 (1)由α的终边上一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便． ，cos α＝ (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论． 1．已知角α的终边过点P(12，a)，且ta