7.2.2 单位圆与三角函数线-2021-2022学年新教材高中数学必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

7.2.2　单位圆与三角函数线 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点) 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点) 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养． 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养. 江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？ 问题　将图中的水车抽象出一个数学模型，建立平面直角坐标系(如图所示)，设水车的轮廓为单位圆．在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴．过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与的关系吗？，， 提示　sin α＝.，tan α＝，cos α＝ 1．单位圆与三角函数 (1)单位圆：在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合． (2)三角函数与单位圆：角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，如图： 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝， 则角α的终边与单位圆的交点为P(cos_α，sin_α)． 思考：单位圆的圆心和半径分别是什么？ [提示]　单位圆的圆心在原点，半径为单位长度即半径等于1. 2．三角函数线 (1)作图：①角α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M. ②过A(1,0)作x轴的垂线，交角α的终边或其反向延长线于点T. (2)图示： (3)结论：向量分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线． ，， 思考：(1)三角函数线的长度与三角函数的值有何关系？ (2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？请说明理由． [提示]　(1)三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值． (2)能，当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴(或y轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)角α的正弦线的长度等于sin α. (　　) (2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线． (　　) (3)余弦线和正切线的始点都是原点． (　　) [提示]　(1)×.角α的正弦线的长度等于|sin α|. (2)×.90°角不能作正切线． (3)×.正切线的始点是(1,0)． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A．正弦线，正切线 B．正弦线，正切线 C．正弦线，正切线 D．正弦线，正切线 C　[由三角函数线的定义知C正确．] 3．角有相同的(　　) 和角 A．正弦线　　　　　 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定 C　[的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．]与 4．角的终边与单位圆的交点的坐标是________． ，＝，纵坐标是sin ＝－的终边与单位圆的交点横坐标是cos 　[由于角 所以角.]的终边与单位圆的交点的坐标是 三角函数线的作法及应用 【例1】　(1)角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为(　　) A．　　　　 B． C．或　 D． (2)作出π的正弦线、余弦线和正切线． (1)D　[根据三角函数值的符号可知，当角α在二、四象限时，角α的正弦、余弦符号相反．又角α的正、余弦线的长度相等，0<α<2π，所以α＝.]或 (2)[解]　在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以Ox轴为始边作角.，正切线为，余弦线为π的正弦线为，即π＝，tan π＝，cosπ＝π，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin 三角函数线的作法步骤 (1(作直角坐标系和角的终边. (2(作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A. (3(过点P作x轴的垂线，垂足为M. (4(过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T. (5(即向量分别为角的正弦线，余弦线和正切线. 1．(1)已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边(　　) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上 (2)作出－的正弦线、余弦线和正切线． (1)B　[根据正弦线的定义知，|sin α|＝1，所以sin α＝±1，所以角α的终边在y轴上．] (2)[解]　如图所示，所以角－.，正切线为，余弦线为的正弦线为 利用单位圆解三角不等式 【例2】　在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合． (