1.1 周期变化-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(北师大)

§1　周期变化 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．(难点) 2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．(难点、重点) 1.通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养． 2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养. 1．周期函数的概念 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期． 思考：1.为什么规定T非零？ 提示：T若为零，则任意函数都是周期函数． 2．常函数f(x)＝c，x∈R是周期函数吗？若是，其周期是什么？ 提示：是周期函数，其周期是任意非零实数． 1．下列变化中，不是周期现象的是(　　) A．“春去春又回” B．钟表的分针的运行 C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天上学的时间 D　[由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D．] 2．探索如图所呈现的规律，判断2 019至2 020箭头的方向是(　　) A　　　　　B　　　　C　　　　　D C　[观察题图可知0到4为一个周期，则从2 019到2 020对应着3到4.] 3．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期． 10　[4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．] 4．已知函数f的值． ＋f，f(1)＝4，求f＋f＝f是定义在R上的偶函数，且对于任意的 x∈R都有f [解]　由题意可知f，＋f＝f 令x＝－2，可求得f＝0， 又函数f，＝f＝0，即f是定义在R上的偶函数，所以f 所以f＝4，是以4为周期的周期函数，又f 所以f＋0＝4.＝f＋f＝f＋f 周期现象 【例1】　水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？ [思路点拨]　由于水车每隔5分钟转一圈，所以要计算1小时内最多盛水多少升，关键是确定1小时内水车转多少圈． [解]　因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈， 所以1小时内水车转12圈． 又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升， 所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)， 所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)． 1．周期现象的判断 首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断． 2．收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观的发现函数的周期性． 1．利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？ [解]　设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)， 所以y＝×160＝32x， 为使水车盛800升的水，则有32x≥800， 所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟． 周期函数 [探究问题] 1．若存在非零常数a，使函数f是周期函数吗？若是，其周期是什么？，则f＝－f在定义域上满足：f 提示：由已知得，f是以2a为一个周期的周期函数．，根据周期函数的定义，f＝f＝－＝－f 2．若存在非零常数a，使函数f是周期函数吗？若是，其周期是什么？，则f＝在定义域上满足：f 提示：由已知得，f是以2a为一个周期的周期函数．，根据周期函数的定义，f＝f＝＝ 【例2】　已知函数f是周期函数． ＝13，求证：ff满足f [证明]　由已知得f，＝ 所以f.＝f＝＝ 所以f是周期函数，4是它的一个周期． 判定一个函数是周期函数需分两步 (1(先猜想出其周期； (2(用周期函数的定义证之. 2．已知函数f是周期函数． ，求证：f＝满足f [证明]　由已知得，f.＝－＝＝＝ 所以f.＝f＝－＝－ 所以f是周期函数，4是它的一个周期． 周期函数的应用 【例3】　设f＝x. ，当0≤x≤1时，f＝－f是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (1)求f的值； (2)当－4≤x≤4时，求f的图象与x轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f的单调递增(或减)区间． [思路点拨]　 第(1)问先求函数f；的周期，再求f 第(2)问，推断函数y＝f的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积； 第(3)问，观察图象写出． [解]　 (1)由f，＝f＝－＝－f，得f＝－f 所以f是以4为周期的周期函数， ∴f＝π－4.＝－＝－f＝f＝f (2)由f，＝－f是奇函数与f 得f，＝f＝－f 即f.＝f 故知函数y＝f的图象关