第03讲 二次函数中的角相等或角的和差倍半关系（2022长宁、松江、徐汇、虹口、黄浦一模24题解法分析+经典变式练）-冲刺2022年中考数学压轴题全揭秘（上海专用）

第3讲 二次函数中的角相等或角的和差倍半关系 -（2022长宁、松江、徐汇、虹口、黄浦一模24题解法分析+经典变式练） 本节压轴题解题的基本解题步骤 一.寻找题目中的已知量和特殊条件 二．用相似得到比例式可以直接求解 教学重难点 1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件； 2.培养学生分析问题解决问题的能力； 3.让学生学会把难题分解，从而分段击破； 4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。 例1.（2022长宁一模24）抛物线与 轴相交于两点 (点在点左侧), 与轴交于点, 其顶点的纵坐标为 4． （1）求该抛物线的表达式； （2）求 的正切值； （3）点在线段的延长线上, 且 , 求 的长． 【详解】解：（1）把点代入得： 当时， 顶点的纵坐标为 4． 故抛物线的表达式为 （2）过点B作交于E点， 令 则 故， （3）过点D作轴，过点A作， 当点F在CB延长线上，F只能在第四象限，故 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，解题关键是确定出抛物线解析式，是一道中等难度的中考常考题． 例2.（2022年虹口一模24）已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D． （1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标； （2）当∠ABC＝90°时，求抛物线y＝ax2﹣4ax+3的表达式； （3）当∠ABC＝2∠BCD时，求OD的长。 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴A（0，3）， ∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2+3﹣4a，∴对称轴为直线x＝2， ∵点A与点C关于对称轴对称，∴C（4，3），∴B（2，3﹣4a）； （2）如图1，过点B作BG⊥y轴交于点G， ∵∠ABC＝90°，∴∠OAB＝45°，∴AG＝BG＝2， ∴B（2，1），∴3﹣4a＝1，∴a＝，∴y＝x2﹣2x+3； （3）如图2，过点B作BH⊥OC交于点H，连接AC， ∵∠ABC＝2∠BCD，∴∠NBC＝∠CNB，∴∠ONB＝2∠OCB， ∵NB∥y轴，∴∠AOC＝∠ONB， ∵AC＝4，AO＝3，∴tan∠AOC＝，∴tan∠HNB＝， 设HB＝4x，则HN＝3x，∴NB＝5x，∴NB＝CN＝5x， ∴CH＝8x，∴tan∠HCB＝， ∵∠OCB＝∠NBC＝∠ABN，∴＝，∴a＝1， ∴y＝x2﹣4x+3，∴B（2，﹣1）， ∵N是OC的中点，∴N（2，），∴BN＝，ON＝， ∵AO∥BN，∴△AOD∽△BND， ∴＝，即＝，∴OD＝． 例3.（2022黄埔一模24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点与轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与BC交于点D，与轴交于点E． （1）求抛物线的对称轴及B点的坐标 （2）如果，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段的下方，，求点的坐标 【小问1详解】解：∵二次函数y=ax2−3ax−4a， ∴对称轴是 ， ∵A(−1，0)，∵1+1.5=2.5，∴1.5+2.5=4，∴B(4，0)； 【小问2详解】∵二次函数y=ax2−3ax−4a，C在y轴上，∴C的横坐标是0，纵坐标是−4a， ∵y轴平行于对称轴，∴ ，∴，∵ ，∵MD=， ∵M的纵坐标是+∵M的横坐标是对称轴x，∴ ， ∴+=， 解这个方程组得： ， ∴y=ax2−3ax−4a= x2-3×（）x-4×（）=； 【小问3详解】假设F点在如图所示的位置上，连接AC、CF、BF，CF与AB相交于点G， 由（2）可知：AO=1，CO=2，BO=4，∴ ，∴， ∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠BCO=∠CAO， ∵∠CFB=∠BCO，∴∠CAO=∠CFB，∵∠AGC=∠FGB，∴△AGC∽△FGB， ∴ ， 设EF=x， ∵BF2=BE2+EF2= ，AC2=22+12=5，CO2=22=4， ∴= ， 解这个方程组得：x1=5，x2=-5， ∵点F在线段BC的下方，∴x1=5（舍去），∴F（，-5）． 例4.（2022年松江一模24题）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC． ①当＝时，求t的值； ②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积． 【小问1详解】解：由y=-x+2可得： 当x=0时，y=2；当y=0时，x=3， ∴A（3，0），B（0，2）， 把A、B的