1.7整式的除法(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年七年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

1.7整式的除法 要点一、单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 注意：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.题型1：单项式除以单项式 计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算． 【答案与解析】 解：（1）． （2） ． （3） ． （4） 【变式1-1】计算：（1）32（x3y2z）3÷（﹣8x5y4z2）．（2）（2x2y3）•（5xy2）÷（10x2y4）． 【分析】先根据积的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的运算法则计算． 【解答】（1）解：原式＝32×（x9y6z3）÷（﹣8x5y4z2） ＝﹣4x4y2z （2）解：（2x2y3）•（5xy2）÷（10x2y4） ＝10x3y5÷（10x2y4） ＝xy． 【变式1-2】计算： （1）3x2（2x﹣1）； （2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a． 【分析】（1）根据单项式乘多项式运算法则即可求出答案． （2）根据整式的除法运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式＝6x3﹣3x2． （2）原式＝4a2﹣2a+1 要点二、多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 注意：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 题型2：多项式除以单项式 计算：（1）[（x+3y）（x﹣3y）﹣x2]÷9y．（2）（2m2﹣m）2÷（﹣m2） 【分析】先算小括号，再算中括号，最后算除法． 【解答】（1）解：原式＝[x2﹣9y2﹣x2]÷9y ＝﹣y． （2）解：原式＝（4m4﹣4m3+m2）÷（﹣m2） ＝﹣4m2+4m﹣1 【变式2-1】计算：（1）（12a4﹣4a3﹣8a2）÷（2a）2．（2）2x（x﹣3y）+（5xy2﹣2x2y）÷y． 【分析】先算乘方，然后根据多项式除以单项式的运算法则进行计算． 【解答】解：原式＝（12a4﹣4a3﹣8a2）÷4a2 ＝3a2﹣a﹣2． 【解答】解：原式＝2x2﹣6xy+5xy﹣2x2 ＝﹣xy 【变式2-2】计算：[4y（2x﹣y）+2x（y﹣2x）]÷（4x﹣2y）． 【分析】先对括号内提取公因式2（2x﹣y），然后再进行除法运算即可． 【解答】解：[4y（2x﹣y）+2x（y﹣2x）]÷（4x﹣2y） ＝[4y（2x﹣y）﹣2x（2x﹣y）]÷[2（2x﹣y）] ＝2（2x﹣y）（2y﹣x）÷[2（2x﹣y）] ＝2y﹣x 题型3：整式的混合运算 计算：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣4xy3）÷2xy． 【分析】先计算平方差公式和多项式除单项式，再合并同类项即可． 【解答】解：（x+y）（x﹣y）﹣（4x3y﹣4xy3）÷2xy ＝x2﹣y2﹣（2x2﹣2y2） ＝x2﹣y2﹣2x2+2y2 ＝﹣x2+y2． 【变式3-1】计算： （1）（5x4﹣6x3）÷（﹣x）+3x•（x﹣x2）； （2）（x+2y）（x﹣3y）﹣x（x+4y）+9xy． 【分析】（1）根据多项式除以单项式和单项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）根据多项式乘多项式、单项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）（5x4﹣6x3）÷（﹣x）+3x•（x﹣x2） ＝﹣5x3+6x2+3x2﹣3x3 ＝﹣8x3+9x2； （2）（x+2y）（x﹣3y）﹣x（x+4y）+9xy ＝x2﹣3xy+2xy﹣6y2﹣x2﹣4xy+9xy ＝4xy﹣6y2． 【变式3-2】计算：（2x2y）3•5xy2÷（﹣10x6y5）+（x2y﹣2xy）÷xy． 【分析】根据积的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式可以将题目中的式子化简． 【解答】解：（2x2y）3•5xy2÷（﹣10x6y5）+（x2y﹣2xy）÷xy ＝8x6y3•5xy2÷（﹣10x6y5）+（x﹣2） ＝40x7y5÷（﹣10x6y5）+（x﹣2） ＝﹣4x+x﹣2 ＝﹣3x﹣2 题型4：整式除法与化简求值 先化简，再求值：[（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）+4xy]÷2y，其中x＝﹣2，