1.3 导数在研究函数中的应用 同步练习-2021-2022学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第二册

1.3 导数在研究函数中的应用（练习） 一．单项选择题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是 A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极大值 C．函数在处取得极值 D．函数在处取得极大值 2．函数的单调递增区间为 A． B． C． D． 3．函数的最小值为 A． B． C． D．不存在 4．已知函数，下列结论中错误的是 A．, B．函数的图像是中心对称图形 C．若是的极值点，则 D．若是的极小值点，则在单调递减 5．函数的图象大致为 A． B． C． D． 6．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分．） 7．已知函数在处取得极值，则实数的值为 ． 8．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则 ． 9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 10．已知函数的最小值为，则实数的值为 ． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 11．（本小题满分12分） 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 12．（本小题满分12分） 已知函数的图象在处的切线与直线垂直． （1）求的图象在处的切线方程； （2）证明：当时，． 1．3 导数在研究函数中的应用（练习） 试题 第1页 $1.3 导数在研究函数中的应用（练习） 解析 一．单项选择题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是 A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极大值 C．函数在处取得极值 D．函数在处取得极大值 【答案】D 【解析】由导函数的图象，当时，，递增； 当时，，递减． 因为在大于零，所以在单调递增，所以选项A不正确； 因为在两侧导数同号，所以不是极值点，所以选项B不正确； 因为在两侧导数同号，所以不是极值点，所以选项C不正确； 因为在左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以当时取得极大值，所以选项D正确．故选D． 2．函数的单调递增区间为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的定义域为R，且， ，得，所以的单调递增区间为．故选D． 3．函数的最小值为 A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】的定义域为，且．令，解得． 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增． 所以最小值为．故选A． 4．已知函数，下列结论中错误的是 A．, B．函数的图像是中心对称图形 C．若是的极值点，则 D．若是的极小值点，则在单调递减 【答案】D 【解析】三次函数值域为R，所以存在零点，故A正确；三次函数的图象是中心对称图形，故B正确；三次函数是可导函数，所以极值点必然是导数为零的点，故C正确；因为，若有极值点，则有两不等实根，不妨设为且则在单调递增，在单调递减，在单调递增，即为极大值点，为极小值点，所以若是的极小值点，则在无单调性，故D错误．故选D． 5．函数的图象大致为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数是偶函数，排除D； 当时，函数，所以． 令 得， 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增，排除A，C．故选B． 6．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的定义域为R，且．令，得． 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增． 所以的极大值为，极小值为． 因为恰有三个零点，所以的图像和轴有三个交点， 所以，所以．故选C． 二．填空题（每小题5分．） 7．已知函数在处取得极值，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】因为的定义域为，且， 由已知得，所以，解得． 当时，， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增． 所以时在处取得极小值． 8．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则 ． 【答案】 【解析】令，得． 又，，，， 所以，，所以． 9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】依题意，，即在上恒成立．又，所以． 经验证符合题，所以实数的取值范围为． 10．已知函数的最小值