模型五 半角模型-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

模型五 半角模型 类型一 正方形含半角 1．（2020春•济南期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE+DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝　　，连接AG； （2）证明：EF＝BE+DF． 【答案】（1）DF （2）略 【解答】解：（1）∵△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系． ∴延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG， 故答案为：DF； （2）证明：由（1）得GB＝DF， ∵AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°， ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF， 在△AGE和△AFE中， ， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵GE＝GB+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF． 2．（2019•太康县二模）（1）【探索发现】 如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为　 　． （2）【类比延伸】 如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长． 【答案】（1） 3 （2）MN＝BM+DN （3）MN＝5+5． 【解答】解：（1）如图1中， ∵△MAN≌△MAG， ∴MN＝GM， ∵DN＝BG，GM＝BG+BM， ∴MN＝BM+DN， ∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝6， ∴BM+CM+CN+DN＝6， ∴BC+CD＝6， ∴BC＝CD＝3， 故答案为3． （2）如图2中，结论：MN＝NM+DN． 延长CB至E，使BE＝DN，连接AE， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠D＝∠ABE， 在△ABE和△ADN中， ， ∴△ABE≌△ADN， ∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE， ∵∠BAD＝2∠MAN， ∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN， ∴∠MAN＝∠EAM， 在△MAN和△MAE中， ， ∴△MAN≌△MAE， ∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN； （3）解：如图3，把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AN．作NH⊥AD于H，在AH上取一点K，使得∠NKH＝30° 在Rt△DHN中，∵∠NDH＝60°DN＝5（﹣1）， ∴DH＝DN＝，HN＝DH＝， 在Rt△KNH中，KN＝2HN＝15﹣5，HK＝HN＝， ∴AK＝AH﹣HK＝15﹣5， ∴AK＝KN， ∴∠KAN＝∠KNA， ∵∠NKH＝∠KAN+∠KNA， ∴∠NAK＝15°， ∴∠MAN＝75°＝∠BAD， 由（2）得，MN＝BM+DN＝10+5（﹣1）＝5+5． 类型二 等腰直角三角形含半角 3．（2021•娄底）如图①，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）求证：EF2＝BE2+CF2； （3）如图②，作AH⊥BC，垂足为H，设∠EAH＝α，∠FAH＝β，不妨设AB＝，请利用（2）的结论证明：当α+β＝45°时，tan（α+β）＝成立． 【答案】（1）略（2） EF2＝CF2+BE2（3）成立 【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵CD⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝45°＝∠B， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）由（1）知，△ABE≌△ACD， ∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD， ∵∠BAC＝90°， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝45°＝∠EAF， ∵AF＝AF， ∴△AEF≌△ADF（SAS）