模型四 手拉手模型-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

模型四 手拉手模型 类型一 双等腰三角形 1．（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE． （1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明； （2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明． 【答案】（1） BE+MD＝BM （2）EN＝DN 【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC＝α， ∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD， 即∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD， ∵M为BC的中点， ∴BM＝CM， ∴BE+MD＝BM； （2）如图，作EH⊥AB交BC于H，交AB于F， 由（1）△ABE≌△ACD得：∠ABE＝∠ACD， ∵∠ACD＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠ABD， 在△BEF和△BHF中， ， ∴△BEF≌△BHF（ASA）， ∴BE＝BH， 由（1）知：BE+MD＝BM， ∴MH＝MD， ∵MN∥HF， ∴， ∴EN＝DN． 2．（2020•黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长． （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 【答案】（1） 全等 （2）BD＝ （3）AD＝ 【解答】解：（1）全等，理由是： ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△ACE≌△BCD（ SAS）； （2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE， ∴BD＝AE， ∵△DCE是等边三角形， ∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°， 在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2， ∴AE＝＝＝， ∴BD＝； （3）如图2，过A作AF⊥CD于F， ∵B、C、E三点在一条直线上， ∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°， ∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°， 在Rt△ACF中，sin∠ACF＝， ∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×＝， ∴S△ACD＝＝＝， ∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×＝， FD＝CD﹣CF＝2﹣， 在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝＝3， ∴AD＝． 类型二 双等腰直角三角形 3．（2020•河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE． （1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为　等腰直角三角形　，连接BD，可求出的值为　　； （2）当0°＜α＜360°且α≠90°时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 【答案】（1） 等腰直角三角形， （2）①两结论仍然成立②＝3或1． 【解答】解：（1）如图1， ∵AB绕点A逆时针旋转至AB′， ∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°， ∴△ABB'是等边三角形， ∴∠BB'A＝60°， ∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°， ∵AB'＝AB＝AD， ∴∠AB'D＝∠ADB'， ∴∠AB'D＝＝75°， ∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∵DE⊥B'E， ∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°， ∴△DEB'是等腰直角三角形． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝45°， ∴， 同理， ∴， ∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°， ∴∠BDB'＝∠EDC， ∴△BDB'∽△CDE， ∴． 故答案为：等腰直角三角形，． （2）①两结论仍然成立． 证明：连接BD， ∵AB＝AB'，∠BAB'＝α， ∴∠AB'B＝90°﹣， ∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'， ∴∠AB'D＝135°﹣， ∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣＝45°， ∵DE⊥BB'， ∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°， ∴△DEB'是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，