模型三 一线三等角模型-备战2022年中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

模型三 一线三等角模型 类型一 非直角型一线三等角 1．（2020秋•大东区期末）如图，在△ACB中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，且BD＝3，CF＝2，则的值为　　． 【答案】（1）略 （2） 【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB， ∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB， ∵∠DEF＝∠B， ∴∠BDE＝∠CEF， ∴△BDE∽△CEF； （2）∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵△BDE∽△CEF， ∴， ∴BE2＝DB•CF＝6， ∴BE＝CE＝， ∵△BDE∽△CEF， ∴＝＝， 故答案为：． 2．（2020•南岗区校级开学）已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接EF、BF； （1）求证：BF平分∠ABC； （2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值． 【答案】（1） 略 （2） 【解答】解：（1）过E作EH⊥BC于H，连接DH， ∵∠C＝60°， ∴∠HEC＝30°， ∴CE＝2CH， ∵CE＝2AD， ∴CH＝AD， ∴， ∴HD∥AC， ∴△BHD为等边三角形，∠DHE＝∠HEC＝30°， ∴HD＝BD， ∵∠EDF＝60°， ∴∠HDE＝∠BDF， 在△DHE与△DBF中，HD＝BD，∠HDE＝∠BDF，ED＝FD， ∴△DHE≌DBF （SAS）， ∴∠DBF＝∠DHE＝30°， ∴∠CBF＝∠DBF， 即BF平分∠ABC； （2）设AD＝a，则CE＝2AD＝2a， 若AE＝2CE，则AE＝4a， 在△ADE中，AE＝4a，AD＝a，∠A＝60°，过点D作DH⊥AC于点H， 则AH＝AD＝a，HD＝ADsin60°＝a， 则tan∠DEA＝＝＝ 3．（2021•黑龙江）已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．请解答下列问题： （1）如图①，求证：AB+BF＝2BD； （2）如图②、图③，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1） 略 （2）AB﹣BF＝2BD 【解答】（1）证明：如图①中，连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT． ∵BA＝BT，∠ABT＝60°， ∴△ABT是等边三角形， ∵△ABT，△AEF是等边三角形， ∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°， ∴∠TAF＝∠BAE， 在△ATF与△ABE中， ， ∴△ATF≌△ABE（SAS）， ∴TF＝BE，∠ATB＝∠ABE＝60°， ∵ED⊥AB， ∴∠DEB＝30°， ∴BD＝BE， ∴TF＝2BD， ∵BT＝AB， ∴AB+BF＝2BD． （2）①如图②，结论：AB﹣BF＝2BD． 理由：连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT． ∵△ABT，△AEF是等边三角形， ∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°， ∴∠TAF＝∠BAE， 在△ATF与△ABE中， ， ∴△ATF≌△ABE（SAS）， ∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝60°， ∴∠EBD＝60°， ∵ED⊥AB， ∴∠DEB＝30°， ∴BD＝BE， ∴TF＝2BD， ∵BT＝AB， ∴AB＝2BD， ∴AB﹣BF＝2BD． ②如图③，结论：BF﹣AB＝2BD． 理由：连接BE，在BC上截取BT，使得BT＝BA，连接AT． ∵△ABT，△AEF是等边三角形， ∴AT＝AB，AF＝AE， ∴∠TAF＝∠BAE， 在△ATF与△ABE中， ， ∴△ATF≌△ABE（SAS）， ∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝120°， ∴∠EBD＝60° ∵ED⊥AB， ∴∠DEB＝30°， ∴BD＝BE， ∴TF＝2BD， ∵BT＝AB， ∴BF﹣AB＝2BD 类型二 直角型一线三等角 4．（2020•苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC． 问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值． 【答案】（1）BC＝AB+CD； （2） 【解答】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°， ∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°， ∴∠BAP＝∠DPC， 又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°， ∴△BAP≌△CPD（AAS）， ∴BP＝CD，AB＝PC， ∴BC＝BP+P