06专题突破——圆锥曲线与三角形的“心”相印(解题篇)-《中学生数理化》高二数学2022年2月刊

中学生数理代三数学经魏题率方法 专题突破—圆锥曲线与三角形的“心印 ■四川省成都经济技术开发区实验中学校陈泽刚 从近几年高考试题中圆锥曲线的命题特 点看,此类题型既注重基础知识又注重考查 解析:由题意知,抛物线C的焦点为 能力,既突出圆锥曲线的本质特征又灵活多F(1,0)。设点P(xp,yp),Q(xg,ya), 变,尤其圆锥曲线中面积、弦长、最值几乎成R(xk,yg)。 为必考内容。三角形的“四心”问题与圆锥曲 .p-t. t Ir 线交汇,让题目更具活力。因此,通过专题研 由重心的坐标公式得 故 形的“四心”与圆锥曲线的交汇问题, 可以帮助同学们快速提高关于这部分知识的 解题能力,从而增强学习信心。 三角形的重心(三角形中三条中线的 设直线PQ的方程为x=ky+m,由 交点 消去x得y2-4ky-4m=0 知识储备 则△=16k2+16m=16(k2+m)>0,且 (1)G是△ABC的重心台GA+GB 由韦达定理得,yp+ya=4k,ypya=-4m 0,重心G的坐标为 所以,xp+xa=(kyp+m)+(kya+m) a+xb+tc yatyBty =k(yp+ya)+2m=4k2+2m。 (2)G为△ABC的重心,P为平面上任 i r=3-(xptxo)=3-4k--2m,yR 意点,则PG=3(PA+PB+PC); 将点R的坐标代入抛物线C的方程得 (3)重心是中线的三等分点,它到顶点的16k2=4×(3-4k2-2m),即2m=3-8k2。 距离与它到对边中点的距离之比是2:1; 则△=8(2k2+2m)=8(3-6k2)>0,解 (4)重心与三角形的三个顶点组成的三 个三角形的面积相等,即重心到三条边的距 得0≤k 离与三条边的长度成反比。 则|PF|+|QF 例1(2019年成都市树德中学高 2m+2=5-4k2∈(3,5 模第12题)抛物线C:y2=4x的焦点为 因F(1,0)不在直线PQ上,故m≠1 F,点P、Q、R在抛物线C上,且△PQR的重 此时,k2 则|PF|+|QF|≠ 心为F,则PF|+QF的取值范围为( 因此,|PF|+|QF|的取值范围是 9 点评:本题考查拋物线与直线的交汇,求 距离的取值范围及重心坐标的计算,稍难。 C.(3,4)∪(4 变式1.(2020年浙江高三月考)已知 酸方片中學生数理化 F(-1.0),F:(1,0),M是第一象限内的点,M交线段FF2于N,则A的值为() 且满足|MF1|+|MF2|=4。若Ⅰ是 △MF1F2的内心,G是△MF1F2的重心,记 △IF1F2与△GF1M的面积分别为S1,S 解析:如图2,点 则( M在椭圆2+y2 2516 B S,=S. ,过点M作MB F1F2于点B,过点 D.S1与S2的大小不确定 作IA⊥F1F2于点A 详解:因为|MF1 设△MF1F2的内切圆 +|MF2|=4>1F1F2 半径为r,则|IA 2,所以M的轨迹是 由题意知 3,及S△MF1F2 椭圆+=1在第 +S△F1 2·6·|MB 象限内的部分,如图1 (10+6)·|IA 所示 由△MNB 已知是△MF1F2的内心,可设内切圆与△INA相似,可得MB=MN=8° 的半径为r,此时 (|MF1|+|MF2|+|F1F2|) 令|ⅠN|=3m,则|MN|=8m。 可解得IN ⅠM I MN F1F2|·yM 故选 F,F 所以 点评:本题主要是利用三角形相似将所 求的比值转化成三角形相似比问 构造 IFIF 叉因为G是△MF1F2的两个三角形相似来处理,对于内切圆问题通 重心,所以OG:GM=1:2。 常利用等面积法列方程。得S△ABC=S△BC+ S△MAC+S△AB(其中Ⅰ是△ABC的内切圆圆 所以S2 MOF 心)令S△ABC=r(a+b+c),从而解决问题。 FF 3,5=52,选B 变式2.(2020年江西高三期中卷))已知 点评:本题考查了椭圆的定义,其中涉及 椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别 三角形的内心和重心,对同学们分析图形中 二、三角形的内心(三角形中三条角平分任意一点,是△PF1F2的内心。多合的 数量关系的能力要求较高 为F1、F2,P为椭圆上不与左、右顶点 线的交点) 4|y|时(其中yp,y1分别为点P与内心I 的纵坐标),此椭圆的离心率为 重要结论:Ⅰ是△ABC的内心台a A+b·TB IC=0(其中 △ABC的三条边)。 解析:设P(xp, 例2(2020年浙江高三期中卷)已知yp),不妨设yp>0。如 图3,设三角形内切圆的 M是椭圆。+X=1上一点,F1、F2是椭圆 半径为r,由三角形内切 的左、右焦点,点Ⅰ是△MF1F2的内心,延长圆的性质可得: 图3 中学生数理代三数学经魏题率方法 解得 .iy2x+2y1 y2y=y