02高考抛物线经典题型与核心考点突破(知识篇)-《中学生数理化》高二数学2022年2月刊

盖中學生数理化 高考抛物线经典题型与核心考点突破 ■四川省巴中中学肖斌(正高级教师、特级教师 抛物线是重要的圆锥曲线之一,在高考 经典基础题——抛物线的定义及其 中多与其他曲线一起综合命题,大小题型都几何性质问题 叮能出现。选择题和填空题命题的重点多为 对抛物线的定义及其几何性质等基础知 抛物线的标准方程、几何性质以及简单的最识的考查,通常出现在选择题、填空题中间偏 值问题;解答题多为抛物线与圆的综合性 后的位置,以中档难度居多。有时也出现在 题,互相渗透,各有侧重。纵观近五年高考全小题靠前的位置或大题的第一问中,属于简 国卷,抛物线解答题深入挖掘教材,依托经舆单的必得分题。 背景,聚焦主干知识,考查关键能力,灵动多 高频考点一抛物线的定义 变,精彩纷呈,出现的频率已经不亚于椭圆 命题方向1利用“抛物线上的点到焦 比如2021年全国卷高考数学有四个类别共6点的距离等于它到准线的距离”进行线段等 套试卷,而命制抛物线解答题的多达4套 量转移 其中全国甲卷理数第20题、文数第21题是 例 (2017年全国Ⅱ卷理数第16 道以高等数学中的彭赛列定理为背景,将题)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M 抛物线核心知识与圆、直线交汇渗透的探究是抛物线C上一点,FM的延长线交y轴于 类解答题,文理同题,分别作为次压轴题和压点N。若M为FN的中点,则|FN 轴题出现。全国乙卷理数第21题是以高考 解析:不妨设点M位于第一象限。设抛 中考查多次的阿基米德三角形性质为背景,物线的准线l与x轴交于点F’,即FF⊥t 创设新的问题情境,考查用同构思想构建切于点F' 点弦方程、用配方法求阿基米德三角形面积 作MB⊥于点B,作NA⊥l于点A。 最值的抛物线试题;全国乙卷文数第20题是 因为M为FN的中点,所以线段BM为 道用均值不等式研究直线斜率最值的抛物 直角梯形AFFN的中位线 线大题,活而不难,但易出错。2021年仅全 易得准线l的方程为x=-2,于是 国新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷解析几何解答题分别考 AN|=2,|F 查双曲线及椭圆(涉及圆)。若再调研之前的 在直角梯形AF'FN中,中位线之长 2016年至2020年全国I卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷,我 BM 们发现:这五年间理科数学15套试卷中,考 查椭圆解答题的有10套(其中椭圆与抛物线 由抛物线的定义,得|MF|=MB|=3。 结合问题、椭圆与圆结合问题各1套),考查 由M为FN的中点,得MN|=MF|=3 抛物线解答题的有6套(其中椭圆与抛物线 故|FN|=|FM|+|MN|=3+3=6。 合问题、抛物线与圆结合问题各1套);这 命题方向2利用抛物线的定义求解焦 五年间文科数学的15套试卷中,考查椭圆解半径问题 答题的有7套(其中椭圆与抛物线结合问题 例2(2021年高考北京卷第12题改 套),考査抛物线解答题的有9套(其中抛物编)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C 与椭圆结合问题1套、抛物线与圆结合问为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0, 题3套)。这些数字说明,抛物线与椭圆交替则FA+|FB+|FC 出现,平分秋色,频繁亮相于高考最后三道把 解析:因为FA+FB+FC=0,所以焦点 关大题之中。请同学们关注这些新热点、新F(1,0)为△ABC的重心,A,B,C三点的横 动向,触类旁通,积极应对。 坐标之和为点F的横坐标的三倍,即xA+ 中学生数理化迟数学如结与展 对称轴的焦点弦称为通径,其长为2p,易得 由抛物线的定义知,抛物线上的点A到通径是最短的焦点弦); 焦点F的距离等于它到准线x=-1的距 离,即FA|=|FA|=xA-(-1)=xA+1。 ③斜率式,PQ|=2D+k且线 同理可得|FB|=xB+1,|FC PQ的斜率 故|FA|+|FB|+|FC|=x4+1 高频考点二抛物线的几何性质 1trc 抛物线的标准方程有四种情形,其对应 命题方向3利用抛物线的定义解决焦形、焦点坐标、准线方程、取值范围、开口方 点弦问题 向、焦半径等重要的几何性质可归纳为表1 例3(2017年全国I卷理数第1 同学们应在数形结合、异同对比的基础上,熟 题)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F 练掌握并运用。 作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物 线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交 于DE两点,则|AB|+DE的最小值为() B.14 标准方程|的意义:(1)几何意义,焦点F到准线的 解析:设直线AB的倾斜角为a,则直线 距离(即焦准距);(2)代数意义,一次项系数 DE的倾斜角为a+(当a为锐角时)或a 2(当a为钝角时)。由抛物线的焦点弦公 图形 式,得|AB I DE I 顶点 O(0,0) 对称轴 轴 轴 焦点F(2,)F(-20)F(2)F( sin2(a± 离心率 故|AB|+