01空间向量与立体几何常见考点及题型(知识篇)-《中学生数理化》高二数学2022年2月刊

盖中學生数理化 空问向量与立休几何常Ⅺ考点及题型 ■重庆市铁路中学校何成宝 考点一:证明位置关系 直线的方向向量与平面内两条相交直线的方 命题方向:用空间向量证明位置关系的 向向量垂直来证明。 情况主要有:(1)证明直线和直线平行或垂 (3)证明面面垂直通常转化为证线面垂 直;(2)证明直线和平面平行或垂直;(3)证明直,也可用两个平面的法向量垂直来证明。 平面和平面平行或垂直。 (4)用向量法来证明平行与垂直,避免了 例1(2017年高考天 复杂的推理论证,只需直接计算,把几何问题 代数化。尤其是正方体、长方体、直四棱柱中 P-ABC中,PA⊥底面ABC 相关问题的证明用向量法更简捷,但是向量 ∠BAC=90°。点D,E,N分 法要求计算时必须准确无误。 别为棱PA,PC,BC的中点 考点二:求异面直线所成角 M是线段AD的中点,PA 图1 命题方向:求异面直线所成角,常常以多 AC=4,AB=2。求证:MN∥平面BDE 面体为载体,抓住异面直线的已知点或特殊 分析:证明线面平行只需求出平面的法点,通过平移把异面直线转化到一个三角形 向量,计算出直线对应的方向向量与平面的中求解 法向量的数量积为0即可。 例2(2015年 解:如图2,以A为原点, 高考全国I卷)如图3, 分别以AB,AC,AP的方向为 四边形ABCD为菱 x轴,y轴,z轴的正方向建立 形,∠ABC=120°,E 空间直角坐标系 …F是平面ABCD同 依题意可得 侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面 图2 A(0,0,0),B(2,0,0) ABCD,BE=2DF,AE⊥EC C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2), (1)证明:平面AEC⊥平面AFC M(0,0,1),N(1,2,0)。则D (2)求直线AE与直线CF所成角的余 DB=(2,0,-2)。 弦值。 设向量n=(x,y,z)为平面BDE的法 分析:运用向量夹角公式 n·DE=0,(2y=0, 向量,则 a,b求异面直线所成角,是高考的重 n·DB=0 不妨令=1,可得n=(1,0,1) 点。求解时应先建立空间直角坐标系,求出 又MN=(1,2,-1),可得MN·n=0 与两条异面直线共线的向量,最后由向量夹 角公式去求解。 因为MN￠平面BDE,所以MN∥平面 解:(1)连接BD,设BD∩AC 连接 小结:(1)证明线面平行可证明线线平 EG,FG EF 行,也可证明这条直线与平面的法向量垂直, 在菱形ABCD中,不妨设GB= 这类试题可用传统法也可用向量法,用向量 由∠ABC=120°,可得AG=GC=/3 法更为普遍。 由BE⊥平面ABCD,AB=BC=2,可知 (2)证明线面垂直的方法:可用直线的方AE=EC。又AE⊥EC,所以EG=3,且 向向量与平面的法向量共线来证明,也可用FG⊥AC。在Rt△EBG中,可得BE=/2, 中学生数理化迟数学如结与展 线角,放在一个三角形中求解。 例3(2015年高考 在R△FDG中,可得FG=26 国Ⅱ卷)如图5所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=x 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE 16,BC=10,AA1=8,点E, 2,DF=2 可得FE 从而EG2+F分别在A A1E=D1F=4,过点E,F的平面a与此长 FG2=EF2,所以EG⊥FG 方体的面相交,交线围成一个正方形 又AC∩FG=G,故EG⊥平面AFC (1)在图中画出这个正方形(不必说出画 因为EGC平面AEC,所以平面AEC⊥ 法和理由); 平面AFC (2)如图4,以G (2)求直线AF与平面a所成角的正弦 值 为坐标原点,分别以 分析:设直线l与平面α的夹角为0(0° GB,GC的方向为x“ ≤0≤90°),a是直线l的一个方向向量,n是 轴,y轴的正方向, GB|为单位长,建立 平面a的法向量,则由 sinO=|cos(n,a)|,可 图4 空间直角坐标系 求出θ的大小。直线与平面所成的角是高考 常考内容,求解时应先建立空间直角坐标系, 分别求出平面a的法向量和直线l的方向向 由(1)可得A(0,-,0),E(1,O,),量的坐标,运用向量的坐标就可获解。 ,C(0,3,0),所以AE=(1,3 解:(1)如图6,交线围 成的正方形EFNM为所求 方形 AE·CF (2)如图6,分别以DA 因此,cos<AE,CF AE|·CF 的方向为x轴 轴,x轴的正方向建立空间直角坐标系。作 3°所以直线AE与直线CF所成角的余EH⊥AB,垂足为H,所以AH=A1E=4, EH=AA1=8。因为四边形EFNM为正方 弦值为 形,所以EM=EF=BC=10 求异面直线所成角,一是按定义 则MH=/EM=EH=6,AM=10。 平移转化