11对圆锥曲线有关的--类问题的研究(解题篇)-《中学生数理化》高二数学2022年2月刊

中学生理化 解题篇创新题追根溯源 高二数学2022年2月 对圓锥曲线有关的一丢问题的研究 0000 ■海南华侨中学马莉 美籍匈牙利数学家波利亚1959年提出, 4k2-2k 在数学研究与学习中合情推理占有很重要的 地位,这里的合情推理及其模式,是指借助于 故k 归纳、模拟、限定、推广、猜测、检验等思维活动 来认识事物、发现真理的推理形式。同学们在 直线AB的斜率为定值 学习的过程中,也常常需要运用这一推理形 问题2:已知点P(3,4)是圆O:x2+y 式,对一个个具体问题恰当地进行归纳、猜想 =25上的点,过P作直线PA,PB分别交圆 推广,在这一过程中,培养大家的思维能力 O于A,B两点,若直线PA,PB的偭斜角互 在解析几何的学习过程中,笔者发现了 补,求证:直线AB的斜率为定值 以下两个相似问题。 用问题1中的方法,容易得到直线AB 问题1:已知点P(1,2)是圆O:x2+y 5上的点,过P作直线PA,PB分别交圆的斜率为定值4,证明过程 程略 O于A,B两点,若直线PA.PB的倾斜角互 观察冋题1、问题2,不难发现有这样的 补,求证:直线AB的斜率为定值。 相似之处:问题1中,点P的坐标为(1,2) 证明:设直线PA的斜率为k,则直线 问题2中,点P的坐标为(3,4),kAB PA的方程为y-2=k(x-1) 因为直线PA,PB的倾斜角互补,所以 直线AB的斜率都是点P的横坐标与 它们的斜率互为相反数,直线PB的方程为 纵坐标的比值。 2=—k(x-1)。 设A(x1,y1),B(x2,y2)。 猜想1:已知点P(x。,y。)(y0≠0)是圆 联立{y2=k(x-1), O:x2+y2=r2上一点,过P作直线PA,PB 得x2+[k(x 分别交圆O于A,B两点,若直线PA,PB的 1)+2] 倾斜角互补,则直线AB的斜率为定值 整理得(k2+1)(x-1)2+(4k+2)(x-1) 猜想2:已知点P(x。,y。)(ya≠0)是圆 0,即(x-1)[(k2+1)(x-1)+4k+2 :(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 解得x=1(舍去)或x-1 +2 直线PA,PB分别交圆O于A,B两点,若直 线PA,PB的倾斜角互补,则直线AB的斜 k2+1 率为定值 代入直线PA的方程,解得 4k2+2k 猜想3:已知点P(x。,y。)(y0≠0)是圆 O:(x-a)2+(y-b) 上的点,过P作 4k+2直线PA,PB分别交圆O于A,B两点,若直 把k换作一k,得x2 线PA,PB的倾斜角互补,则直线AB的斜 理中孕生表理化 b)k2-2( 率为定值 猜想1的证明:设直线PA的斜率为k 故 y2-y1(y2-y0)=(y1=y0) 则直线PA的方程为y-y0=k(x-x x2-x1(x2-x0)-(x1-x0) 因为直线PA,PB的倾斜角互补,所以 (yo≠0) 它们的斜率互为相反数,可设直线PB的方 4k(yo-b) yo-b 程为y-y0=-k(x-x0) 不难看出,猜想1就是猜想 且 设A(x1,y1),B(x2,y2)。 0时的特殊情况。猜想1涉及的是以坐 标原点为圆心的圆,其他的以坐标原点为中 y-y0=k(x-x。) 心的图形是否可以有相关结论呢 联立{x2+y2 得(k2+1) 猜想如下 猜想1-1:已知点P(x0,y0)(y0≠0)是 0)2+(2y0k+2x0)( 故(x-x0)[(k2+1)(x-x0)+2yk+椭圆C:+=1上的点,过P作直线 B分别交椭圆于 则 2yok+2xo 或 PA,PB的倾斜角互补,则直线AB的斜率 为定值 2vok-+2.x 分析可知x1-x0 猜想1-2:已知点P(x0,y)(y。≠0)是 k2+1 代入直线PA的方程,解得 双曲线 1上的点,过P作直线 k2+2xok PA,PB分别交双曲线C于A,B两点,若直 k2+1 线PA,PB的倾斜角互补,则直线AB的斜 2yok-+2.x 同理 y2-y率为定值 k2+1 猜想1-1的证明过程如下 设直线PA的斜率为k,则直线PA的 y2-y:(y2-y)-(y1-y。) 方程为 故kA 因为直线PA,PB的倾斜角互 它们的斜率互为相反数,可设直线PB的方 (y≠0),斜率为定值 程为y-yo 同理可以证明猜想2是错误的,猜想3 设A(x1,y1),B(x2,y2)。 正确,以下简要说明猜想3的证明过程。 y-yo=k(x-xo 联立{( 得(a2k2+b2) b)k+2( a)](x-x0)=0 (x-x0)2+(2a2y0k+2b2x0)(x-x0)=0。 2a2y0k+2b2x0]=0 解得 2a2y。k+2b2x 2(y0-b)k+2(x0-a) 故 分析可得x1-x 2a yok+2b'x 中学生理化 解题篇创新题追