学案60 二倍角的正弦，余弦、正切公式-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

二倍角的正弦、余弦、正切公式学案60 学案60二倍角的正弦、余弦、正切公式 听 昆学习任务 记 1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.（逻辑推理） 2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明.（数学运算） 课堂活动 新知应用 活动一推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.(2023·上海卷)已知tana=3,则tan2a= 阄新知导学 2.已知sin2a= 長，<a<,求sin4,cos4a 阅读教材第220一221页，完成下列问题. tan4a的值. 问题1在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若 令α=B,你能得出什么结论？ 问题2cos2a的式子能否变成只含有sina或 cosa形式的式子呢？怎么变？ 厅新知生成 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2a= Sd cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a 余弦 -1= 「方法总结」理解并掌握二倍角的公式，并会灵 活应用，注意不要忽略题目中所给角的范围， 2tan a 正切 tan 2g T2a 活动二二倍角公式的逆用及变形用 1-tan'a “倍”是描述两个数量之间关系的，2a是α的二 厅新知生成 倍，4如是2公的二倍，号是的二倍，这里蕴含着 (1)sin acos a= 2sin 2a; 换元思想。 (2)1±sin2a=(sina±cosa)2. 18710 人教A版数学必修第一册 听 新知应用 笔 1.(多选)下列化简结果正确的是 记 A.cos22sin52°-sin22°cos52°=1 c号 n号 2 tan24°+tan36 B.1-tan 24 tan 36 =3 3在△ABC中，eosA=手，tanB=2,求an2A +2B)的值. C.c0s15°-sin15°=√2 D.sin15sin30°sin75°= 4 2.若a∈（经x,且cos2a=sim(任-a,则sin2a 的值为 () A.2 C.3 D.-2 3.函数y=2cs(+）-1的最小正周期为 4已知sm-0<<求红 ) cos+) A R 的值. C.π D.2π sin110°cos250° 4. c0s225° sin2155的值为 A号 D、③ 2 :「方法总结」掌握二倍角公式的变形形式，并会 灵活应用，注意有些题目中给定的角的范围不要 忽略 1 活动三倍角公式的综合应用 5.已知tana=3ang=7且-x<a<- 2 今新知应用 0<B<号，求2a+B的值. 1.(2023·新高考I卷)已知sin(a一β)= 3,cos asin B ,则cos(2a+29)= 1 1 c.- D.一g 7 9 2.已知sin(a- 》-则mla》-() 11188 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案60 「方法总结」要结合之前所学的所有的公式，对 它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要 4.(多选)下列各式巾，值为的是 注意题目中的条件，会对三角函数值的符号进行 A.2sin15°cos15° B.cos215°-sin215 判断，尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或 C.1-2sin215 D.sin215°+cos215 钝角，正弦值均为正，余弦值和正切值并不一定 5.已知sin(a+元)-cos(a十3π)=了，则sin2a 为正 课堂小结 6.已知函数f(x)= sin 2a=2sin acos a sin2x+cos2x-2sin(π-x)cos(π+x) cos 2a=cos2a-sin2a (二倍角 cos 2a=2cos2a-1 cos 2a=1-2sin2a (1)求f()的值： tan2 a= 2tan a 1-tan2a 2已知fa)-号，求n20的值 名课堂达标 1.2sin45°cos45°的值为 A.-2 D.1 2,若cosa= 2√ 3,则cos2a= B号 c-日 n号 3.若sin Q3 2=3,则cosa- ( c司 D号 课后反思 189103 所以tana=4,所以tan月=tan[(a+9)-a] 3=7、故选B了 = 4 2 5.B sin (B)=sin acos B+cos asincos asin 所以sin acosB=-2,则sin(a-B)=sin acosB--cos asin B= 6.BCD[对于A,sin(分+1）=cos1,故A错误； 对于B,sin(π十2)=一sin2,故B正确； 对子CS-m05-15）-加0-，故 C正确； 对于D,sin54°cos9°-cos54°sin9°=sin(54°-9°)=sin45 =2,故D正确] 7.CD[C=120°，.A+B=60°，∴.2(A+B)=C, ∴.tan(A十B)=√3，.选项A,B错误； 'tan A+tan B-/3(1-tan A tan B)23 3 tnB=专0 又tanA+anB=2 3,② 联立①②解得tanA=tanB=5, 3 .cosB=√3sinA,故选项C,D正确.] 8.解：(1一tana)(1-tan3)=2, ..1-(tan a+tan B)+tan atan B=2, .'tan a+tan B=tan atan B-1, “ana十tang =-1, "1-tan atanβ .'tan(a+8)=-1. 8e(侵ia+Be（,2n, a+g=经 学案60 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课堂活动 活动一推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 新知导学 问题1提示：sin2a=2 sin acos a,cos2a=cos2a-sina,tan2a 2tan a -1-tan'a 问题2提示：可以.利用公式cos2a十sin2a=1,则cos2a= cos2a-sina=2cos2a-1=1-2sin2a. 新知生成 2sin acos a 1-2sin a 新知应用 1.- [tan 2a= 2。=J 1-tana 178 2解：由<a<得<2a<x 2 5 又sin2a=i3' 所以cos2a=一 13 于是sin4a=sin[2X(2a)] =2sin 2acos 2a -2x0×()=器 cos 4a=cos [2X(2a)] =1-2sin22a 1-2x(层)”-温 =169 tan 4a=sin 4a cos 4a 120169120 169×119=-119 活动二二倍角公式的逆用及变形用 新知应用 1.AB[cos22°sin52°-sin22°cos52°=sin(52°-22)=sin30° 1 三，所以A正确a口424an36。=tan(24+36)= tan60°=√3，所以B正确； cos15°-sin15°=√2(cos45°cos15°-sin45°sin15) =Bcos45+15)要，所以C辑保， sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°sin(90°-15) =sin15cos15°sin302sin30sn30°=' 8,所以D错误. 故选AB.] 2D[因为os2a=sn(匠-)小 π 所以cos2a-sin2a=sin4cosa-cos4sina, (cos a-sin a)(cos asin a) 2(cos a-sin a), 又a∈（经，x,所以cosa-sina≠0， 则cose十sima=2 2 1 两边平方得1+sin2a=2' 所以sin2a=一 1 2 故选D.] 3.C[因为y=2cos2(x+）-1=cos(2x+）=-sin2z, 所以T=2π 2π. 故选C.] -sin70°cos70° 2sin140° 2sin40° 4.A[原式= cos225°-sin225° c0s50°= sin40。= 故选A.] 活动三倍角公式的综合应用 新知应用 1 sin acos B-cos asin B= 3’ 1.B[依题意，得 所以sin acos B .1 cos asin月=6 =7所以sna+p)=sine0s8+cos asin月=合+行 1 号，所以cos(2a+29)-1-2in(a+8)-1-2×(层）厂- 日，故选R] 2.c[sim(2a-吾）)=cos[2-(2a-若)】 =cos(-2a）=cos(2&-) =co[2(。-)]-1-2sim(。-） =1-2x停)”-是意c] 3.解：法-：在△ABC中， 由osA=有0KA<,得 mA=-A=√-（传）-子， 所以tanA= ×- 3 2tan A tan 2A= 2×424 1-tan'A 1(9 又tanB=2, 所以tan2B= 244 于是tan(2A+2B)=-tn2Atan2B tan 2A+tan 2B 73 44 =117 法二：在△ABC中， 由osA=言0<A<,得 如A=-sA=√-()=， 所以mA-部会号×-是 又tanB=2, 所以tan(A+B2=tanA+tanB二4十2 1-tan Atan B 、11 1-x2 21 所以tan(2A+2B)=tan[2(A+B)] 2tan(A+B) =1-am2(A+B) 2x(←-) 44 1-郭 m(号+2z） 4.解：原式= cos(至+x) 2sin（+xjos(年+z os(+z】 -2sin(+). “m(任-z)=os(任+)-最： 且0<x<, +x(年，） n(爱+)-（层+可=最 ·原式=2X名=24 13131 2 5.解：因为tana= 3,所以tan2a= 2tan a 3 3 1-tan'a 1-1 4 9 3,1 tan2a十tan3_4十7 所以tan(2a十B)=-tan2atan月1- 31=1, 4X7 因为一<a<,所以-2x<2a<元 又周为an2a=是>0，片以-2<2<-贺， 国为08<受，所以-2<2a十K-,所以2a十日=- 4 课堂达标 1.D[2sin45°cos45°=sin90°=1.故选D.] 2.A[由cosa= 29,4ow2a=2ma-1=2x(29）) 7 -1=9 故选A.] 3.C[asa=1-2sm号-=1-2x号-片放选C] 4.BC[A不特合，2sim15°cos15°=sin30°=7；B符合， os15-sn15=cos30-9,c特合，1-2sm15r=cos30 =3 =?D不特合，sin15°+cos215°=1.故选BC.] 5 5.9 [sin(a+π)-cos(a十3π)=-sina+cosa =号，所以(-sina+cosa)2=1-sin2a三g 5 ..sin 2a=g.] 791 6.解：(1f(x)=sin2r+cosx+2 sin cos sin x+cos x -(sin z+cos x) sinx十cosx =sinx十cosx =E(cossin+-sinco）=厄sin(x+) f(侣)-n(危+）-m号- (2)曲fa)-,得sm(e+）=号 sin 2a=-cos(2+2a)=-cos 2(a+ =-[1-2sim(e+)]=-(1-2x日）=-名 学案61简单的三角恒等变换（一） 课堂活动 活动一推导半角公式 新知导学 问题1提示：a是2的二倍角.在倍角公式c0s2a=1-2sima 中，以a代替2a,以受代替a,得 c0a=1-2sn号所以n号-g80① 在倍角公式cos2a=2cos2a-1中， 以a代替2a,以受代替a,得 cosa=2os号-1，所以cog2号-1+aos&.② 2 2 将0@两个学式的左布两这分到和除，得：号-十0。 新知生成 (1)± 1-cos a (3)士 1-cos a sin a 2 1+cos a (4)1十cos& =1-cosa sin a 新知应用 1.D[由题意，c0s1中5=1-2in2g,得im2e=3-月 4 2 8 _5治5-（佰）汉方脱商所以血受>0，所以m号 =-1十5.故选D.] 4 2.A[由已知得，sina=- 5 131 12 :a是第三象限角，cosa= 13 5 sin a 一13 aam7中o&1+(一) =-5 故选A.] 3解：当0a<受时，0号< 180 所以8a-ma-,√-（倍）-专， 4 √10 所以sin /1-cos a 1一5 2 2 10 4 /1+cos a cos 2= 2 1+53 =λ2 10 sin 2 √10 10 1 tan 2 g3√103 10 (2)当角。在第一象限时，2<a<2π+（质∈Z),则k< 8<x+子∈D. 当为偶数时，角？在第一象限，故由(1)可得， 2 当。为奇数时，角？在第三象限，此时有 &10。&3√10 a 1 sin 2-10 cos 2- 10,tan2=3 活动二化简三角函数式 新知应用 3 1.B[因为sin2a=5, 所以os2(e+）- 1+cos(2a+2） 2 四20-行故选B] 2 2.解：原式= cos 2 cos 0 cos 2 e cos 2 0π 因为0<0<π，所以0<2<2 0 所以cos2>0, 所以原式=一c0s0, √3tan12°-3 3.解： sin12°(4cos212°-2) √3sin12°-3cos12° c0s12° 2sin12°(2cos212°-1) 2√3sin(12°-60°) -2√3sin48°-2√3sin48° 2sin 12'cos 12'cos 24sin 24'cos 24 1 2sin48° =-4√3.