10以“点”代“线”优化抛物线中两类 “热点”问题(解题篇)-《中学生数理化》高二数学2022年2月刊

中学生理化 解题篇创新题追根溯源 高二数学2022年2月 以“点”代“线”优化抛物线中丽类热点”问题 ■河北省南宫中学霍忠林 抛物线的标准方程(比如y2=2ax,a≠ P(x,y) 过 0)中既含有二次项又含有一次项,可以用“ 次”来表示“一次”,这样抛物线上任意一点均 点B作直线AP的垂线,垂 可以表示为(y 足为Q,求直线AP的斜率的 2a∵y)(不妨称为“设点 这 取值范围 种设法避开了常规的“设线”方法,这种处理 解析:由结论二得kAP 图 手段对于处理抛物线中“与直线斜率相关的 问题”和“直线过定点问题”这两类热点问题 常常具有出奇制胜的效果。下面我们先来回 点评:本题直接利用结论二来求拋物线 顾两个常见的结论 上两点的斜率,方法简单快捷,直截了当。 结论一:已知A(2,y),B(2,y)为 例2已知抛物线C:y2=2px,且过 抛物线y2=2ax(a≠0)上不同的两点且直线 A(1,1)。 AB的斜率kAB存在,则kAB 直线 (1)求抛物线C的方程; (2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C AB的方程为y= 交于两个不同两点M,N(均与点A不重 ),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2, 证明:kABy-y2y 直线AB求证:k1k2为定值 解析:(1)易得 (2)设M(y2,y1),N(y2,y2)。 的方程为y-y1= 当直线MN斜率存在时,由结论一得 整理得y CIn+gn 而M、N、P三点共线,所以kMN=kM, 化简得y1y 当抛物线的焦点在y轴上时,可以得到 类似结论 结论=:已知A(x1,2a),B(x…2)为 所以k1k2 抛物线x2=2ay(a≠0)上不同的两点且直线 y1y2+y1+y2+1 AB的斜率kAB存在,则kAB 当直线MN斜率不存在时,易知其方程 为x=3,与抛物线交于(3,3),(3,-/3), AB的方程为y= (证明过 与结论一相似,不再赘述) 亦满足k1k2=2 类型一抛物线中与直线斜率相关的问 综上,k1k2=2 例3抛物线y2=4x的焦点为F,过 例1如图1,已知抛物线 点P(2,0)的直线交抛物线于A,B,直线 抛物线上的点AF,BF分别与抛物线交于点M,N,证明 直线MN与直线AB的斜率之比为定值 理程中学生数理化 解析:题意得F(1,0),设A(M,y 例4已知直线y=x-2与抛物线y 2px(p>0)相交于A,B两点,且OA OB,定点C(4,2),D(-4,0),M是抛物线上 动点。设直线CM,DM与抛物线的另 由结论一得,kMN 个交点分别是E,F (1)求抛物线的方程; (2)求证当M点在抛物线上变动时(只 由A、P、B三点共线得kAB=kAP,即要点E,F存在且不重合),直线EF恒过一 ,化简得y1y 个定点,并求出这个定点坐标。 解析:(1)设A 由A、F、M三点共线得kAM=kAF,即 将x=2+y代入 化简得y 即 py-4p=0,故 由OA⊥OB得,OA·OB=0,即0= 4-4p,解得p=1 4 p 由B、F、N三点共线得kB=kBF,即 所以抛物线的方程为y2=2x 化简得y2 4,即 (2)设M(y J2ty,y 则k 由结论一知,直线EF方程 所以 18 ytY 由E、C、M三点共线得kM=k,即 2(定值)。 点评:上述两个例题涉及的点较多,如果 化简得 没线”来处理会非常烦琐,而通过“设 点”来处理,则快速简捷,易于同学们吸收和 由F、M、D三点共线得kM=kpD,即 掌握。但是要注意当拋物线上两点所在直线 ,化简得 过某点时,通过三点共线来处理会更好 类型二抛物线中直线过定点问题 一般地,探求直线y=kx+m过定点问 由②③式得y3y4=4(y3+y4)-8,将其 题,就是寻求k和m的一次关系。比如若k代入①式得y x-4)+4,显然过定 2m+1,则直线y 点(4,4) m=(2x+1)m+x,所以该直线过定点 解析几何的学习对同学们的数学运算能 2,-2),同样对于直线y=y1+yx 力要求很高,很多时候同学们有解题思路但 面对“烦琐”的运算常常自信心不足。因此, 少过定点问题,就是寻求y1+y2和在高考备考中同学们要夯实计算基础,总结 yy2这两个“量”的一次关系。因此,通过优化策略,这样才能实现精准备考。 设点”来处理直线过定点问题的关键就是寻 (责任编辑徐利杰) 找y1+y2和y1y2的一次关系。