09浅谈圆锥曲线中常见的解题误区(解题篇)-《中学生数理化》高二数学2022年2月刊

中学生数理代三数学解题年分 浅谈圆锥曲线中常见的解题误区 ■河北省秦皇岛市北戴河中学林楠 在圆锥曲线的学习过程中,同学们有时 故椭圆方程为 会遇到一些似是而非的问题,此类问题往往 是由于对某些概念或公式理解得模糊,从而 点C在y轴左侧,必有x<0。当点C在x 造成一些表面上看起来正确而实际上错误的轴上时不能构成三角形,故x≠-2。因此, 判断,使我们的解题思路走入误区 点C的轨迹方程为4+3=1(-2≤x<0 误区一忽视题中的隐含条件,扩大变 量的取值范围 点评:要认真审题,弄清已知条件,注意 是否存在隐含条件,不能扩大或缩小变量x 例1已知△ABC中,A、B、C所对的 和y的取值范围 边分别为a、b、c,a>c>b,且a,c,b成等差 误区二对双曲线的渐近线方程理解不 数列,AB|=2,求顶点C的轨迹方程。 透彻,造成解题失误 错解:如图1,以直线 AB为x轴,线段AB的 例2求焦点在x轴上,焦距为20,渐 中点为原点,建立直角坐 近线方程是y=±4x的双曲线方程 标系。 则A(-1,0),B(1 错解:因焦点在x轴上,渐近线方程是y 故所求方程应是 设C点坐标为(x,y),因a,c,b成等差 数列,故a+b=2c,即|BC|+|AC b>0),且 故 9,b2=16,所求双 2|AB|。 曲线的方程为 则 整理得3x2+4y2=12,即为C点的轨迹方程 剖析:上述错解中,由渐近线方程是y= 剖析:上述解答中忽视了题设中的条件±3x,推出0=3,但不能得出a=3,b=4, a>c>b,从而导致变量x的取值范围扩大, 使轨迹方程解的个数增加。另一错误之处是 而且忽视了焦距为20这一条件。与双曲线 当点C在x轴上时,A、B、C三点不能构成 1有相同渐近线和离心率的双曲 b 角形,应排除点C在x轴上的情况。 正解一:由错解得3x2+4y2=12,由于线,其方程可写为_y=x(x>0)。 正解一:由于渐近线方程是y 解不等式得x<0。而点C不能在x轴上,故 x≠-2。因此,方程3x2+4y2=12(-2<x且焦点在x轴上,故双曲线的方程为 <0)是C点的轨迹方程 正解二:由错解得丨BC|+|AC 9入16A 2|AB|,而AB 故|BC|+|A 又2c=20,c=10,即c2=a2+ 2。由椭圆定义可知,点C的轨迹是以A、B 16=25,102=25,解得入=4 为焦点的椭圆,其长轴为4,焦距为2,短 轴为222-1=2。 故所求双曲线的方程为 理分中学生款肥化 正解二:设双曲线方程 a2b2=1,则 由 消去y得,(k 3,解得a=6,b 2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0。① 则x1+x2= 2k(k-1) 故所求双曲线的方程为36-64=1 又Q1Q2的中点B的坐标为(1,1),故 误区三对抛物线的四种标准方程认识 k(k-1) 不清,从而错误地判断焦点坐标 1,解得k=2。 k2-2 例3过抛物线y=ax2(a>0)的焦点 直线m的方程为2x-y-1=0。 F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段 错解二:假设m存在,则m不垂直于x 轴,可设直线m的方程为y-1=k(x-1)。 PF与FQ的长分别是p、q,则 等于 设Q1和Q2的坐标分别为(x1,y1) 错解:抛物线的焦点坐标为(,0),利用 特例思想,当直线与x轴垂直时,则p=q 因Q1Q2的中点B的坐标为(1,1),故 故选D。 剖析:y=ax2不是标准形式,标准形式 则 2,k=2。存在这样的直线 应为x2=-y,其焦点不是 4∵0),而是m,其方程为2x-y-1=0。 剖析:若将k=2代入①,得2x2-4x+3 错解误认为y2=ax,从而出错 =0。因△=-8<0,故求不出Q1、Q2,即不 存在满足条件的直线。 正解:抛物线的标准形式为x 正解:假设m存在,则m不垂直于x轴, 点为(04)。当直线与抛物线的对称轴(即 可设m的直线方程为y-1=k(x-1) 设Q和Q2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)。 y轴)垂直时,P=q=2a,即 故选 y-1=k(x-1), 消去y得: 误区四在解析几何中,遇到一元二次 方程有解时,往往忽视有解的前提条件 例4给定双曲线 1.经点 方程①有两解的前提条件是 B(1,1)能否作直线m,使点B恰是直线n A=-16k+24>0。 与所给双曲线的两个交点Q1和Q2连线的中 点?直线m如果存在,求出它的方程;如果 解得k∈(-∞,一))∪(一,2)∪ 不存在,请说明理由 (,2)。而2∈(-∞,一)U(-,) 错解一:假设m存在,则m不垂直于x 轴,可设m的直线方程为y-1=k(x-1)。 2,2)故不存在这样的直线 设Q1和Q2的坐标分别为(x1,y1), (责任编辑徐利杰)