08例析圆锥曲线中的范围(最值)问题(解题篇)-《中学生数理化》高二数学2022年2月刊

中学生数理代三数学经魏题率方法 例析圆箍曲线中的范围(最值)问题 河南省漯河高中秦晓燕 圆锥曲线中的范围(最值)问题是圆锥曲及焦点,则可以考虑将圆锥曲线的定义和平 线中的重要题型。这类题目以圆锥曲线中的面几何性质结合起来求解;②若求圆锥曲线 性质、直线与圆锥曲线的位置关系为载体,以上的点到直线的距离,则可设出与已知直线 不等式或函数的单调性为解题工具,综合性平行的直线方程,再代入圆锥曲线方程中,用 比较强,是考查的热点。做此类题目,需要从判别式等于0求得切点坐标,这个切点就是 以下两个方面入手 距离取得最值的点;③若点在圆或椭圆上,则 方面一:熟练记忆范围的各种出处 可将点的坐标以参数形式设出,转化为三角 (1)已知条件中参数的取值范围; 函数的最值求解。 (2)直线与圆锥曲线相交,要求判别式 (3)求斜率、截距型的范围或最值:一般 是将直线的方程代入圆锥曲线的方程中,利 (3)圆锥曲线上动点P(x。,y)的横坐用判别式列出对应的不等式,解出参数的范 标、纵坐标自身的取值范围; 围,如果给出的只是圆锥曲线的一部分则需 (4)圆锥曲线中离心率e的取值范围 要结合图形,得出相应的不等关系 (5)焦半径的取值范围 (4)求面积型的最值:恰当选定参数,把 (6)过焦点的弦长的取值范围; 面积表示出来,用函数方法或基本不等式的 (7)三角形中大边对大角,小角对小边; 方法进行求解 (8)三角形两边之和大于第三边,两边之 例1(2021年全国新高考I卷第5 差小于第三边; 题)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个 (9)点与圆锥曲线的位置关系,如点 焦点,点M在椭圆C上,则MF1|·|MF (x0,y。)在椭圆内,则 的最大值为() (10)题目中两个不同的线段长度的比 A.13 较 分析:本题属于求距离型的最值,并且涉 方面二:恰当建立目标函数,利用均值不 焦点,可以利用椭圆定义得到MF 等式或者是函数的单调性求解 MF2|=2a=6,再借助基本不等式|MF 建立目标函数的关键是选取一个合适的 变量,其原则是这个变量能够表达要解决的 MF1|≤(MF1+MF2 问题的表达式,这个变量可以是直线的斜率 直线的截距、点的坐标等,解题时灵活处理。 解:由题意知,a2=9,b2=4,则|MF1 范围或最值问题主要有四种情况 MF2|=2a=6。 (1)求离心率的范围,目标公式为e 所以|MF1 MF2 MFI+IMF ,找出与a、b、c有关的不等式 9(当且仅当|MF1|= (2)求距离型的取值范围或最值:①若涉 MF2|=3时,等号成立)。故选C 酸方片中學生数理化 拓展:在本题的条件下,求|MF 解:设P(x,y。),易知B(0,b)。因为 MF2|的取值范围 1,a2=b2+c2,所以|PB|2 利用基本不等式只能求出最大值,这里 需要利用函数的观点研究目标函数的值域 在刚才解题的基础上把两个距离|MF MF2中的一个MF1|当成主元,把目标函 数表示为关于MF1|的一元二次函数,再进 因为—b≤y≤b,所以分两种情况 行求解。 MF1|·|MF MF1|·(6 b,即b2≥c2时,y= MF1|) MF12+6|MF1=-(MF 时,PB|an=4b2,即|PB|m=2b,符合题 3)2+9,而焦半径|MF1|的范围是[a-c 意,由b2≥c可得a2≥2c2,即0<e≤2 a+c],即MF1∈[3-/,3+5]。利用二 次函数的单调性可知: b,即b2≤c2时,y 当|MF1|=3时,MF1|·|MF2|取最 大值9; 时,PB/mn1=6 +a2+b2,即+a2+b2≤ 当MF1=3±5时,MF1·MF2|4b2,化简得(c2-b2)2≤0,显然该不等式不成立 取最小值4。 答案为C。 故|MF1|·MF2的取值范围为[4,9] 总结提升:解决本题的关键是如何求出 总结提升:求解最值问题时,基本不等 PB|的最大值,利用二次函数求指定区间上 法比较快捷,很受大家的青睐。但是基本不的最值,要根据定义城讨论函数的单调性从 等式不是万能的,遇到求取值范围或值域的而确定最值。本题思路简单,但运算中容易 问题时,还是要利用函数的单调性进行求解,出错。本题中的点P的坐标也可以设成参 特别要注意参数的取值范围 数形式P(acos0,bsin0),O∈[0,2π],把问 例2(2021年全国乙卷(理数)第11题转化为三角函数的最值问题求解,过程中 仍然需要分类讨论 题)设B是椭圆C:+y=1(a>b>0)的 b 例3(2021年全国乙卷(文数)第2 上顶点,若椭圆C上的任意一点P都满足题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F PB|≤2b,则椭圆C的离心率的取值范围到准线的距离为2 (1)求抛物线C的方程; (2)已知O为坐标原点,点P在抛